Matematyka.pl

Pokaż, że przestrzeń liczb rzeczywistych z topologią naturalną prostej jest przestrzenią ośrodkową.

Tutaj mam bardziej pytanie takie, czy uznajemy za ogólny fakt, że \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) oraz, że jest przeliczalny, czyli mamy po zadaniu, czy właśnie muszę te dwa fakty formalnie wykazać? Dziękuję za pomoc i miłego dnia Walentego Wam wszystkim życzę!

Najtrudniej pokazuje sie rzeczy oczywiste, bo nie wiadomo z czego skorzystać. Najwłaściwszym jest chyba zastosowanie aksjomatu Archimedesa

Dziękuję za komentarz. A gdybym pokazał, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Q}}\) takich, że \(\displaystyle{ a<b}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ a<\frac{a+b}{2}<b}\) no i oczywiście \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\in\mathbb{Q}}\).

To jest zupełnie inna własność. Czym innym jest powyższa gęstość porządku na liczbach wymiernych, a czym innym fakt (który Cię interesuje), że liczby wymierne leżą gęsto w rzeczywistych.

JK

Możesz też pobawić się rozwinięciami dziesiętnymi. Liczby ze skończonymi rozwinięciami są wymierne.

Jan Kraszewski pisze: 14 lut 2024, o 11:49 To jest zupełnie inna własność. Czym innym jest powyższa gęstość porządku na liczbach wymiernych, a czym innym fakt (który Cię interesuje), że liczby wymierne leżą gęsto w rzeczywistych.

JK

Dziękuję za Twoją uwagę, już zrozumiałem swój błąd. Postaram się nad tym dowodem jeszcze pochylić. Pozdrawiam!