Matematyka.pl

Tarcza kołowa o promieniu \(\displaystyle{ R}\) posiada pionowe obrzeże. Tarcza wiruje ze stałą prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega}\) w płaszczyźnie poziomej. Jaką siłą \(\displaystyle{ F}\) działa na obrzeże masa \(\displaystyle{ m}\), która porusza się względem obrzeża z prędkością liniową \(\displaystyle{ v'}\)? Rozważyć przypadki, gdy masa \(\displaystyle{ m}\) porusza się w tę samą stronę co tarcza oraz w stronę przeciwną.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Ciało o masie \(\displaystyle{ m}\) porusza się po tarczy, która wykonuje ruch obrotowy, to praktyczny przykład ruchu złożonego.
1.Poszukiwana wartość nacisku - siłę \(\displaystyle{ R _{N} }\) określimy po znalezieniu wartości przyśpieszenia bezwzględnego \(\displaystyle{ a_{B} }\) występującego w ruchu złożonym, bowiem możemy zapisać
\(\displaystyle{ R _{N}= m \cdot a _{b} }\), (1) gdzie
\(\displaystyle{ \vec a _{b}=\vec a _{w} +\vec a _{u}+ \vec a_{c} }\)
Na rysunku zobrazowano przypadek- ruch obrotowy tarczy przeciwny do ruch masy \(\displaystyle{ m}\)- sprowadzonej do modelu punktu(punkt A).
Proszę zwrócić uwagę na zwroty składowych wektorów przyspieszeń.
Prędkość względną oznaczono- \(\displaystyle{ v^{'} = v_{w} }\)
Przyśpieszenie Coriolisa- \(\displaystyle{ a_{c} }\), unoszenia \(\displaystyle{ a _{u} }\), względne \(\displaystyle{ a _{w} }\)

Nie rozumiem do końca. Dlaczego w tym wzorze występują trzy przyśpieszenia, skoro mamy złożenie dwóch ruchów, to znaczy obrotowego tarczy i masy względem tarczy? Skąd jest to przyśpieszenie Coriolisa i o co tu chodzi?

Rozumiem Pana trudności - nie zawsze jednak do opisania ruchu wystarczy stały układ odniesienia. Tu układ ruchomy tarcza wykonuje ruch obrotowy.
Składanie ruchów-trzeba koniecznie poznać pojęcia z ruchu złożonego(względnego) opisywane w każdym podręczniku do mechaniki, fizyki. Trzeba temu ruchowi poświęcić trochę czasu i próbować ćwiczyć na prostych przykładach. To moja koleżeńska rada, w przypadku dalszych trudności służę pomocą.
P.S.
Bez dobrego szkicu -rysunku, trudno o dobre rozwiązanie problemów z mechaniki !
Zajęcia z rysunku na pierwszym roku studiów, podobnie w technikum w pierwszej klasie.

To to ja wiem, tylko skąd ta siła Coriolisa się bierze. Chyba pozostaje mi przyjąć, że jest to jakaś magiczna siła, która powstaje przy obracaniu się układu odniesienia i tyle. A jeśli będziemy mieli tarczę i w niej kulkę, która się nie porusza względem tarczy to też tam będzie ta siła Coriolisa?

Do określenia przyśpieszeń w ruchu złożonym trzeba znać i umieć określać
- układy odniesienia: bezwzględny, względny
- ruch bezwzględny, względny, unoszenia. Prędkości, przyśpieszenia( wartości, kierunki,zwroty)

Zależności między prędkością liniową \(\displaystyle{ v}\) , a kątową \(\displaystyle{ \omega}\)
\(\displaystyle{ v=\omega \cdot R}\), (1)

Przyśpieszenie dośrodkowe w ruchu kołowym
\(\displaystyle{ a _{d}= \frac{v ^{2} }{R} = \omega ^{2} \cdot R}\), (2)

Przyśpieszenie Coriolisa
\(\displaystyle{ a _{c}=2\omega \cdot v _{w} \cdot \sin \alpha }\), (3)
\(\displaystyle{ v _{w} }\)- prędkość względna
..................................................................................
1.Poszukiwana wartość nacisku \(\displaystyle{ R _{n}=m \cdot a _{b}=m(a _{w}+a _{u} -a _{c}) }\)
1.1.Przyśpieszenie(dośrodkowe) w ruchu względnym masy \(\displaystyle{ m}\)
\(\displaystyle{ a _{w}= \frac{v ^{2} _{w} }{R} }\), (4)
Ruch masy -punktu \(\displaystyle{ A}\) względem tarczy- obieganie masy po torze kołowym ze stałą prędkością liniową. Kierunek promienia i zwrot do środka koła - Patrz rysunek.
1.2. Przyśpieszenie unoszenia
\(\displaystyle{ a _{u} = {\omega ^{2} } \cdot {R} }\)
Ruch masy " wiążemy" z tarczą. Masa porusza się z taka prędkością jaką nadaje mu tarcza tj.z prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega.}\)
Wektor leży na promieniu obrotu i ma zwrot do środka obrotu tj.p. O- przyśp. dośrodkowe.
1.3. Przyśpieszenie Coriolisa
\(\displaystyle{ a _{c} =2\omega \cdot v _{v} \cdot \sin \alpha = 2\omega \cdot v _{v} }\)
Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) pomiędzy osią obrotu i prędkością względną \(\displaystyle{ v _{v} }\) jest równy \(\displaystyle{ 90 ^{\circ} }\)
Wektor przyspieszenia jest prostopadły do osi obrotu i do wektora prędkości względnej. Zwrot w tę stronę , w która zmienia się kierunek wektora
\(\displaystyle{ v _{w} }\) wskutek obrotu układu ruchomego - tarczy, stad zwrot na zewnątrz okręgu. patrz rysunek.
2.Przyspieszenie bezwzględne
\(\displaystyle{ a _{b}=\frac{v ^{2} _{w} }{R} + {\omega ^{2} } \cdot {R}-2\omega \cdot v _{v}}\)
3.Siła reakcji
\(\displaystyle{ R _{N} =m \cdot a _{b} =m \cdot \frac{(v _{w}-\omega \cdot R) ^{2} }{R} }\)
Podstawiono składowe przyśpieszenia, sprowadzono do wspólnego mianownika, skorzystano z wzoru na kwadrat różnicy.
.....................................................................

Dodano po 19 godzinach 5 minutach 34 sekundach:
II. Sposób prostszy.
1.Ruchem bezwzględnym masy-punktu \(\displaystyle{ A}\) jest obieganie tarczy z predkością równą sumie prędkości względnej \(\displaystyle{ v _{w} }\) oraz prędkości unoszenia \(\displaystyle{ v _{u}=\omega \cdot R }\).
\(\displaystyle{ v _{bA} =v _{w} +v _{u} }\), (II.1)
2.Przy stałej prędkości względnej występuje tylko przyśpieszenie normalne- dośrodkowe \(\displaystyle{ a _{d} }\). Patrz rysunek
\(\displaystyle{ a _{d} = \frac{v ^{2} _{bA} }{R} }\), (II.2)
3. Reakcja- siła \(\displaystyle{ R _{N} }\) działająca na obrzeże tarczy
\(\displaystyle{ R _{N} =m \cdot a _{d}= m \frac{(v _{w} +\omega \cdot R) ^{2} }{R} }\)
Uwaga: kierunki obrotów tarczy i masy \(\displaystyle{ m}\) zgodne !