Matematyka.pl

Pokazać, że przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja rzeczywista \(\displaystyle{ f}\) określona na \(\displaystyle{ X}\) jest ciągła.

Wskazòwki:
Funkcja pomiędzy dwoma przestrzeniami topologicznymi jest ciągła, dokładnie wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego otwarego podzbioru przeciwdziedziny funkcji jest otwarty w dziedzinie funkcji, a w przestrzeni dyskretnej każdy podzbiór jest otwarty...

Rozumiem jakby to co napisałeś i nawet dokładnie tak samo myślałem po przeczytaniu własności przestrzeni dyskretnej, ale mam problem jak to wszystko formalnie zapisać. Może w jakiejś książce jest taki dowód?

Spróbuj przeprowadzić taki dowód, to nie powinno być trudne... Mogę dać Ci gotowca, ale chyba wtedy niewiele się z tego nauczysz... Spróbuj, wtedy mogę sprawdzić czy będzie dobrze...

Często gdy czytam inne rozwiązania zadań na tym forum, to dużo się uczę, można podejrzeć różne myki itd. Próbowałem też znaleźć jakiś zbiór zadań z topologii z rozwiązaniami do przestudiowania, ale nic nie znalazłem. Czasami ciężko ruszyć, ale jak się ruszy, to już jakoś idzie. Niestety nie ten sam umysł co 40 lat temu, ale nigdy nie jest za późno na naukę. Dziękuję za komentarz, będę walczył z tym zadaniem do późnej nocy i dam znać co wyszło.
Miłego wieczoru!

Pomysł o funkcjach charakterystycznych zbiorów

Jest takie pojęcie:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Topologia_wprowadzona_przez_rodzin%C4%99_przekszta%C5%82ce%C5%84

Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń
Nie twierdzę, że koniecznie trzeba je znać aby zrobić zadanie. Choć jeśli topologie wprowadzoną przez rodzinę \(\displaystyle{ F}\) oznaczmy \(\displaystyle{ \mathcal{O}(F)}\) to zadanie sprowadza się do pokazania równość \(\displaystyle{ \mathcal{O}(X^{\RR})=\mathcal{P}(X)}\). Inkluzja \(\displaystyle{ \subset }\) jest za darmo (warto się jednak nad nią i tak zastanowić). W drugą stronę wysączy pokazać \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ x\right\}:x\in X \right\} \subset \mathcal{O}(\left\{ \chi_{x}:x\in X\right\} )}\). Bo potem topologie generowane (ozn. \(\displaystyle{ \tau(A)}\)) zachowają inkluzję \(\displaystyle{ \tau(\left\{ \left\{ x\right\}:x\in X \right\} ) \subset \tau(\mathcal{O}(\left\{ \chi_{x}:x\in X\right\} ))}\). A ponieważ

\(\displaystyle{ \tau(\left\{ \left\{ x\right\}:x\in X \right\} ) = \mathcal{P}(X)}\)

\(\displaystyle{ \tau(\mathcal{O}(\left\{ \chi_{x}:x\in X\right\} )) =\mathcal{O}(\left\{ \chi_{x}:x\in X\right\} ) }\)

to będzie to koniec. To jest lekko zagmatwany sposób wyrażenia (1) wskazówki którą dostałeś, (2) sposobu rozwiązania - rozwiązania (pod warunkiem znajomości pewnych faktów), (3) treści zadanie za pomocą topologicznych pojęć w języku zbiorów i elementarnej teorii mnogości.

Janusz Tracz, jesteś mistrzem komplikowania. Zrobiłeś dowód, który 1) normalnie zmieściłby się w dwóch linijkach, 2) używa pojęć o wiele bardziej skomplikowanych niż to konieczne, 3) omija istotę sprawy, czyli dowód inkluzji \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ x\right\}:x\in X \right\} \subset \mathcal{O}(\left\{ \chi_{x}:x\in X\right\} )}\) oraz równości \(\displaystyle{ \tau(\left\{ \left\{ x\right\}:x\in X \right\} ) = \mathcal{P}(X)}\).

matmatmm pisze: 12 lut 2024, o 23:10Zrobiłeś dowód

Yyy ok... ale to nie jest dowód. Tylko przeformowanie zadania:

Janusz Tracz pisze: 12 lut 2024, o 22:05 To jest lekko zagmatwany sposób wyrażenia ... treści zadanie za pomocą topologicznych pojęć w języku zbiorów i elementarnej teorii mnogości.

matmatmm pisze: 12 lut 2024, o 23:10 2) używa pojęć o wiele bardziej skomplikowanych niż to konieczne

Janusz Tracz pisze: 12 lut 2024, o 22:05 Nie twierdzę, że koniecznie trzeba je (te pojęcia) znać aby zrobić zadanie.

¯\_(ツ)_/¯

matmatmm pisze: 12 lut 2024, o 23:10 3) omija istotę sprawy, czyli dowód inkluzji \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ x\right\}:x\in X \right\} \subset \mathcal{O}(\left\{ \chi_{x}:x\in X\right\} )}\) oraz równości \(\displaystyle{ \tau(\left\{ \left\{ x\right\}:x\in X \right\} ) = \mathcal{P}(X)}\).

No oczywiście, że omija. Nie śmiałbym dawać gotowca po tych wypowiedziach:

Jakub Gurak pisze: 12 lut 2024, o 17:59 Wskazòwki:...

Jakub Gurak pisze: 12 lut 2024, o 20:22 Spróbuj przeprowadzić taki dowód, to nie powinno być trudne... Mogę dać Ci gotowca, ale chyba wtedy niewiele się z tego nauczysz... Spróbuj, wtedy mogę sprawdzić czy będzie dobrze...

a4karo pisze: 12 lut 2024, o 21:39 Pomysł o funkcjach charakterystycznych zbiorów

Dobry wieczór, ze względu na prywatne sprawy nie miałem wcześniej chwili aby opublikować swoją próbę rozwiązania - przepraszam.
Poczytałem trochę o wskazówce a4karo i wymyśliłem coś takiego, proszę o weryfikację:

Weźmy dowolny podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) i rozpatrzmy funkcję charakterystyczną zbioru \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ f:X\to\mathbb{R}}\) taka, że \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1,\,\,\text{gdy}\,\,x\in A\\0,\,\,\text{gdy}\,\,x\notin A\end{cases}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[\left(\frac{1}{2},2\right)\right]=A}\), który jest otwarty, a więc każdy podzbiór \(\displaystyle{ X}\) jest otwarty. Dziękują za pomoc i miłego wieczoru życzę!

No a teraz w drugą stronę...

Dziękuję Tobie za komentarz a4karo. Rozumiem, że tamta część jest poprawna? W drugą stronę spróbuję tak:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dyskretna, tzn. każdy podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest otwarty. W szczególności \(\displaystyle{ f^{-1}(B)}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ X}\) dla dowolnego otwartego podzbioru \(\displaystyle{ B\subset \mathbb{R}}\), a więc \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła.

Ok. Tylko lepiej zacząć tak

Nie niech `f` będzie dowolną funkcją....

Dziękuję pięknie a4karo za pomoc i wszystkie uwagi, jest to dla mnie bezcenne. Pozdrawiam.

Matematyka.pl

przestrzeń topologiczna dyskretna

przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna

Re: przestrzeń topologiczna dyskretna