Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem nieskończonym i niech \(\displaystyle{ \alpha=\{A\subset X: X \setminus A\,\,\text{jest skończony}\} \cup \{\emptyset\}}\).


(I część zadania)

Pokazać, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest topologią na \(\displaystyle{ X}\), która nie jest przestrzenią Hausdorffa.

1) \(\displaystyle{ \emptyset\in\alpha,\,\,\,\,X \setminus \emptyset=X\in\alpha}\)

2) niech \(\displaystyle{ U,V\in\alpha}\) mamy \(\displaystyle{ X \setminus (U \cap V)=\underbrace{(X \setminus U)}_{skończony} \cup \underbrace{(X \setminus V)}_{skończony}}\) suma dwóch zbiorów skończonych jest skończona, zatem \(\displaystyle{ U \cap V\in\alpha}\).

3) niech \(\displaystyle{ U_i\in\alpha}\) dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\). Wiemy, że każdy \(\displaystyle{ X \setminus U_i}\) jest skończony. \(\displaystyle{ X \setminus \bigcup_{i\in I}^{}U_i= \bigcap_{i\in\ I}^{}X \setminus U_i}\)
przekrój skończonej ilości zbiorów skończonych jest skończony, zatem \(\displaystyle{ \bigcup_{i\in I}^{}U_i\in\alpha}\).

Zatem \(\displaystyle{ \alpha}\) jest topologią na \(\displaystyle{ X}\).

(II część zadania)

Załóżmy niewprost, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest przestrzenią Hausdorffa, wówczas znajdziemy takie otoczenia punktów \(\displaystyle{ x,y\in X}\) odpowiednio \(\displaystyle{ U_x,U_y}\) takie, że \(\displaystyle{ U_x \cap U_y=\emptyset}\)
Mamy zatem równość \(\displaystyle{ \underbrace{X}_{nieskończony}=X \setminus U_x \cap U_y=\underbrace{\underbrace{(X \setminus U_x)}_{skończony} \cup \underbrace{(X \setminus U_y)}_{skończony}}_{skończony}}\). #SPRZECZNOŚĆ. Zatem \(\displaystyle{ \alpha}\) nie jest przestrzenią Hausdorffa.

Co do pierwszej części raczej nie mam większych wątpliwości, natomiast nie wiem czy dobrze uzasadniłem drugą część. Dziękuję za komentarze!

\(\displaystyle{ X \setminus \emptyset=X\in\alpha}\)

Raczej nie tak idzie argument. Powinno być \(\displaystyle{ X \setminus X=\varnothing}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \varnothing\right| <\infty }\) zatem \(\displaystyle{ X\in \alpha }\). Drugiej części nie rozumiem do końca (to znaczy kolejności kwantyfikatorów). Może to co piszesz ma jakiś sens ale jestem zbyt głupi aby rozstrzygnięć czy to starczy. Zaprzeczasz warunkowi Hausdorffa (ale nie jest to dowód nie wprost, a przynajmniej jeszcze nie; faktycznie chcesz pokazać, że zaprzeczenie jest spełnione) więc po pierwsze masz w ręku dwa różne punktu. I trzeba pokazać, że ich dowolne otoczenia kroją się niepusto. Niech więc \(\displaystyle{ U}\) będzie otoczeniem \(\displaystyle{ x}\), oraz \(\displaystyle{ V}\) otoczeniem \(\displaystyle{ y}\). No i teraz faktycznie, gdyby jednak (tu jest nie wprost) \(\displaystyle{ U \cap V =\varnothing}\) to \(\displaystyle{ X = (X \setminus U) \cup (X \setminus V) }\). A to sprzeczność bo \(\displaystyle{ \left| X\right|=\infty }\) z założenia, a \(\displaystyle{ X \setminus U}\) oraz \(\displaystyle{ X \setminus V}\) są skończone. Albo inaczej, wprost \(\displaystyle{ X \setminus U=\{x^{(1)}_1,\dots,x^{(1)}_n\}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x^{(1)}_i\in X}\) (\(\displaystyle{ i=1,\dots,n}\)) oraz \(\displaystyle{ X \setminus V=\{x^{(2)}_1,\dots,x^{(2)}_m\}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x^{(2)}_j\in X}\) (\(\displaystyle{ j=1,\dots,m}\)). Jako, że \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończona to istnieje \(\displaystyle{ z}\) różny od każdego \(\displaystyle{ x^{(1)}_{i}}\), \(\displaystyle{ x^{(2)}_{j}}\). Więc będący w \(\displaystyle{ U}\) oraz \(\displaystyle{ V}\) czyli \(\displaystyle{ z\in U \cap V}\).

Dziękuję pięknie! Już rozumiem w tym drugim sposobie o co chodzi, przypuszczamy, że przekrój otoczeń jest pusty i dochodzimy do sprzeczności, zatem jest niepusty. Co do tej poprawki w I części zadania, źle przepisałem tutaj na forum z kartki na której rozwiązałem. Dziękuję za poprawienie.

mikrocypek pisze: 11 lut 2024, o 22:04 3) niech \(\displaystyle{ U_i\in\alpha}\) dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\). Wiemy, że każdy \(\displaystyle{ X \setminus U_i}\) jest skończony. \(\displaystyle{ X \setminus \bigcup_{i\in I}^{}U_i= \bigcap_{i\in\ I}^{}X \setminus U_i}\)
przekrój skończonej ilości zbiorów skończonych jest skończony, zatem...

skąd to założenie... Jak chcesz to zastosować tutaj
Lepiej wykorzystać tutaj fakt, mówiący, że przekrój niepustej rodziny zbiorów jest podzbiorem każdego zbioru tej rodziny( oraz fakt, mówiący, że każdy podzbiór zbioru skończonego jest skończony).

Dodatkowo w sprawdzeniu aksjomatów (2) i (3) nie uwzględniasz faktu, że każdy zbiór otwarty jest albo koskończony, albo pusty - od razu zakładasz, że wszystkie są koskończone.