Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią topologiczną i \(\displaystyle{ Y}\) jej podzbiorem gęstym. Niech \(\displaystyle{ f,g}\) będą funkcjami ciągłymi określonymi na \(\displaystyle{ X}\) o wartościach rzeczywistych. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f(y)=g(y)}\) dla każdego \(\displaystyle{ y}\) w \(\displaystyle{ Y}\), to \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ X}\).

Wskazówka: wykaż, że zbiór \(\displaystyle{ \{ x \in X : f(x) = g(x) \}}\) jest domknięty.

Dziękuję. Postaram się to wykazać, a mógłbyś powiedzieć dlaczego domkniętość tego zbioru jest równoważna z naszą tezą?

Bo ten zbiór zawiera domknięcie zbioru gęstego, czyli...

JK

czyli całą przestrzeń. Dziękuję już rozumiem, gdy będę już coś miał, to postaram się tutaj to wpisać do sprawdzenia poprawności.

Dodano po 43 minutach 55 sekundach:
Skoro \(\displaystyle{ Y\subset X}\) jest gęsty, to istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty}}\) w \(\displaystyle{ Y}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n\to x}\).
Jeśli \(\displaystyle{ f(x_n)=g(x_n)}\) oraz \(\displaystyle{ f,g-}\) funkcje ciągłe, to \(\displaystyle{ f(x)=\lim_{x_n\to x}f(x_n)=\lim_{x_n\to x}g(x_n)=g(x)}\). \(\displaystyle{ \square}\)

Czy taki dowód jest poprawny?

mikrocypek pisze: ↑11 lut 2024, o 19:17 Czy taki dowód jest poprawny?

Tak, ale zapewne nie o taki dowód chodziło. Pokaż, że

• \(\displaystyle{ Y \subset \{ x \in X : f(x) = g(x) \}.}\)

• Domknięte nadzbiory zbiorów gęstych są całością lub bo do tego się to sprowadza, że domknięcie zachowuje inkluzję; \(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow \cl A \subset \cl B}\).

Janusz Tracz pisze: ↑11 lut 2024, o 19:47Tak, ale zapewne nie o taki dowód chodziło.

Jak to jest przestrzeń topologiczna, a nie metryczna, to z ciągów trzeba się bardziej tłumaczyć.

JK

Janusz Tracz pisze: ↑11 lut 2024, o 19:47

mikrocypek pisze: ↑11 lut 2024, o 19:17 Czy taki dowód jest poprawny?

Tak, ale zapewne nie o taki dowód chodziło. Pokaż, że

• \(\displaystyle{ Y \subset \{ x \in X : f(x) = g(x) \}.}\)

• Domknięte nadzbiory zbiorów gęstych są całością lub bo do tego się to sprowadza, że domknięcie zachowuje inkluzję; \(\displaystyle{ A \subset B \Rightarrow \cl A \subset \cl B}\).

Skoro jest poprawny, to dlaczego nie o taki chodziło?

Dodano po 46 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: ↑11 lut 2024, o 19:58

Janusz Tracz pisze: ↑11 lut 2024, o 19:47Tak, ale zapewne nie o taki dowód chodziło.

Jak to jest przestrzeń topologiczna, a nie metryczna, to z ciągów trzeba się bardziej tłumaczyć.

JK

Czy mógłbyś rozwinąć w jakim sensie trzeba by się bardziej tłumaczyć? Dziękuję!

mikrocypek pisze: ↑11 lut 2024, o 20:11Czy mógłbyś rozwinąć w jakim sensie trzeba by się bardziej tłumaczyć?

Np. co to wg Ciebie znaczy

mikrocypek pisze: ↑11 lut 2024, o 19:17 istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty}}\) w \(\displaystyle{ Y}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n\to x}\).

w przestrzeni topologicznej? Pamiętaj, że nie masz pojęcia odległości.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑11 lut 2024, o 19:58 Jak to jest przestrzeń topologiczna, a nie metryczna, to z ciągów trzeba się bardziej tłumaczyć.

Dlaczego? Ciągłość \(\displaystyle{ f,g}\) to założenie więc dla ciągu \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x}\) (w sensie topologii) implikacja, iż \(\displaystyle{ f(x_n)\to f(x)}\) zachodzi. Robimy tak dla każdego \(\displaystyle{ x}\) dostając zawsze punk po punkcie, że \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\). Jak już trzeba na coś uważać to na jednoznaczność granicy ciągu \(\displaystyle{ f(x_n)}\). Ale to mamy bo \(\displaystyle{ \RR}\) jest metryczna. Teza zachodzi, gdy przeciwdziedzina jest \(\displaystyle{ \sf{T}_2}\).

mikrocypek pisze: ↑11 lut 2024, o 20:11 Skoro jest poprawny, to dlaczego nie o taki chodziło?

Bo Dasio11 nakreślił swoim pierwszym postem czysto topologiczną (i elegancką) drogę rozwiązania. I każdy postem się do tego odnosił. Więc pomysł z ciągami był czymś poza głównym nurtem dyskusji.

To może tak: skoro \(\displaystyle{ Y-}\) gęsty, to dla dowolnego otwartego otoczenia punkt \(\displaystyle{ x}\) prawie wszystkie elementy ciągu \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) należą do tego otoczenia?

Dodano po 2 minutach 59 sekundach:

Janusz Tracz pisze: ↑11 lut 2024, o 20:56 Bo Dasio11 nakreślił swoim pierwszym postem czysto topologiczną (i elegancką) drogę rozwiązania. I każdy postem się do tego odnosił. Więc pomysł z ciągami był czymś poza głównym nurtem dyskusji.

Rozumiem. Czy mógłbyś mi pokazać jak inaczej można pokazać domkniętość tego zbioru? Bo nie mam totalnie pomysłu. Dziękuję!

Ten zbiór to inaczej \(\displaystyle{ (f-g)^{-1}[\left\{ 0\right\} ]}\). A jako, że \(\displaystyle{ f-g}\) jest ciągła oraz \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} }\) jest... no jaki jest singleton zera? To \(\displaystyle{ (f-g)^{-1}[\left\{ 0\right\} ]}\) jest...

PS ja się nie znam na topologii więc słuchaj się JK i Dasio11.

Janusz Tracz pisze: ↑11 lut 2024, o 20:56dla ciągu \(\displaystyle{ x_n \rightarrow x}\) (w sensie topologii)

Dla Ciebie to oczywiste, czym jest zbieżność z w sensie topologii, ale nie jestem pewien, czy mikrocypka też (bo nie odpowiedział na moje pytanie).

JK

Próbowałem odpowiedzieć na to pytanie. Rozumiem, że nie jest to poprawne uzasadnienie?

mikrocypek pisze: ↑11 lut 2024, o 19:17Skoro \(\displaystyle{ Y\subset X}\) jest gęsty, to istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty}}\) w \(\displaystyle{ Y}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n\to x}\).

Ten fragment jest niepoprawny z dwóch powodów.

Po pierwsze dlatego, że w dowodzie nie używamy pojęć, których nie umiemy zdefiniować. ;>

Po drugie zaś, zakładając że na pytanie Janka przytoczyłbyś definicję klasyczną:

Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny do elementu \(\displaystyle{ x \in X}\) (ozn. \(\displaystyle{ x_n \to x}\)) jeśli dla każdego otwartego otoczenia \(\displaystyle{ U \subseteq X}\) elementu \(\displaystyle{ x}\), prawie wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) należą do \(\displaystyle{ U}\). Symbolicznie:

\(\displaystyle{ (\forall U \underset{\text{otw.}}{\subseteq} X) \big[ x \in U \implies (\exists N \in \mathbb{N})(\forall n \ge N) \, x_n \in U \big]}\).

to wówczas użyta przez Ciebie implikacja nie zachodzi. To znaczy: W dowolnych przestrzeniach topologicznych nie jest prawdą, że z elementów podzbioru gęstego można ułożyć ciągi zbieżne do wszystkich elementów przestrzeni. Rozumowanie da się naprawić korzystając z ciągów uogólnionych (ang. net), ale na szczęście istnieje też droga bezpośrednio topologiczna.


Do udowodnienia nadal są dwa fakty:

(i) Zbiór \(\displaystyle{ \{ x \in X : f(x) = g(x) \}}\) jest domknięty.
(ii) Z faktu, że powyższy zbiór jest domknięty, wynika teza zadania.