Matematyka.pl

Mam problem ze zbadaniem zbieżnośći szeregu wyrażonego wzorem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }{n( \sqrt{n^2+n}-n )} }\)
Byłbym wdzięczny za pomoc

wsk 1 dla `x\approx 0` mamy `sin x=x`
wsk 2 `(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b`

Kryterium ilorazowe pozwala równoważnie badać szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{n}n\left( \sqrt{n^2+n}-n \right) } }\). Dalej zamień \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+n}-n }\) na \(\displaystyle{ n/( \sqrt{n^2+n}+n )}\).

A \(\displaystyle{ \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }{n( \sqrt{n^2+n}-n )}}\) nie jest większe niż \(\displaystyle{ \frac1n}\)?

Nie. Dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }{n( \sqrt{n^2+n}-n )} \approx \frac{2}{n \sqrt{n} } }\).

Rozumiem że bierze się to stąd że jak n dąży do nieskończoności to
\(\displaystyle{ \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } )}{ \frac{1}{ \sqrt{n} } }=1 }\)
dlatego można zapisać
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin(1/ \sqrt{n} )}{ \frac{1}{ \sqrt{n} } } -1\right|< \alpha }\)
czyli np.
\(\displaystyle{ \sin(1/ \sqrt{n} ) < (1+ \frac{1}{2})\cdot \frac{1}{ \sqrt{n} } }\)
a co w przypadku gdy w liczniku mamy \(\displaystyle{ \cos( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }\) ?

Tak. Ale nie trzeba korzystać z definicji. Intuicja wystarczy. A formalizmu dopełnia kryterium ilorazowe. Choć można z definicji granicy i kryterium porównawczego osiągnąć równie formalny wynik odnośnie zbieżności. A \(\displaystyle{ \frac{\sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }{n( \sqrt{n^2+n}-n )} \approx \frac{2}{n \sqrt{n} }}\) wynika z faktu, że dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{ \sqrt{n} } \approx \frac{1}{ \sqrt{n} } }\).

Klokkcc7 pisze: 11 lut 2024, o 19:11 a co w przypadku gdy w liczniku mamy \(\displaystyle{ cos( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) }\) ?

Wtedy zauważamy, że \(\displaystyle{ \cos \frac{1}{ \sqrt{n} } \approx 1 }\) i robimy wszystko dokładnie tak samo.

W ogóle zrozumienie skąd się biorą nasze pomysły przychodzi naturalnie po zrozumieniu asymptotyki tego co jest pod szeregiem oraz faktu, iż pierwsze wyrazy można ingerować. Liczą się jedynie duże \(\displaystyle{ n}\). I asymptotyczne zachowanie wyrazów sumowanych dla dużych \(\displaystyle{ n}\) na znaczenie.