Matematyka.pl

Witam, mam problem z poniższymi zadaniami na relacjach.

1. \(\displaystyle{ X = \{a, b,c, d, e, f\}.}\) Rozpatrujemy w \(\displaystyle{ X}\) relację równoważności, które mają parzystą liczbę klas abstrakcji. Ile jest takich relacji? Uzasadnij.

2. Podaj jeden przykład relacji \(\displaystyle{ R}\) w \(\displaystyle{ X = \{ a, b,c, d, e, f\}}\) spełniający warunek z powyższego zadania, oraz warunek
\(\displaystyle{ \{ (a, c), (e, f)\} \subseteq R}\). Swoją relację zdefiniuj za pomocą macierzy binarnej.

Leopard123 pisze: ↑7 lut 2024, o 23:14 1. \(\displaystyle{ X = \{a, b,c, d, e, f\}.}\) Rozpatrujemy w \(\displaystyle{ X}\) relację równoważności, które mają parzystą liczbę klas abstrakcji. Ile jest takich relacji? Uzasadnij.

Znasz twierdzenie o odpowiedniości pomiędzy relacjami równoważności na zbiorze a podziałami tego zbioru? To jest pytanie na ile sposobów możesz "pokroić" ten zbiór na parzyście wiele kawałków. Czyli \(\displaystyle{ 2,4}\) lub \(\displaystyle{ 6}\).

Leopard123 pisze: ↑7 lut 2024, o 23:142. Podaj jeden przykład relacji \(\displaystyle{ R}\) w \(\displaystyle{ X = \{ a, b,c, d, e, f\}}\) spełniający warunek z powyższego zadania, oraz warunek
\(\displaystyle{ \{(a, c), (e, f) \} \subseteq R}\). Swoją relację zdefiniuj za pomocą macierzy binarnej.

Jak wyżej oraz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) mają być w tym samym kawałku oraz \(\displaystyle{ e}\) i \(\displaystyle{ f}\) mają być w tym samym kawałku (to mogą być różne kawałki lub ten sam kawałek).

JK

Czyli to by była liczba Stirlinga \(\displaystyle{ S_2(6, 2), S_2(6, 4), S_2( 6, 6)}\).

No przecież to się na palcach liczy...

Ale tak, to jest suma liczb Stirlinga drugiego rodzaju.

JK

Ok a drugim to bym dał przykładowo podział na 2 klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ (a, c, b), (e, f, d)}\)

I macierz relacji do tego wyglądała by tak:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1&1&0&0&0\\ 1&1&1&0&0&0\\ 1&1&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&1&1\\ 0&0&0&1&1&1\\ 0&0&0&1&1&1\end{pmatrix}}\)

Dobrze.

JK