Szczęść Boże i ratuj się kto może!
Argument jest trochę nieelementarny. Może ktoś wymyśli coś łatwiejszego. Taka rodzina może być maksymalnie mocy
\(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\).
Można przyjąć, że funkcje w rodzinie
\(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) przyjmują wartości z przedziału
\(\displaystyle{ (-1,1)}\). Wystarczy bowiem każdą funkcję z
\(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) złożyć z przeskalowaną funkcją
\(\displaystyle{ \arctg}\). Stąd możemy sformułować pytanie w następujący sposób.
Jaka jest maksymalna moc rodziny funkcji \(\displaystyle{ \mathcal F\subset B(X)}\) o następującej własności: Jeśli \(\displaystyle{ f,g\in\mathcal F}\) oraz \(\displaystyle{ f\neq g}\), to zbiór \(\displaystyle{ \{x\in X: f(x)=g(x)\}}\) jest przeliczalny?
Przy czym
\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem mocy
\(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) zaś
\(\displaystyle{ B(X)}\) oznacza zbiór wszystkich rzeczywistych i ograniczonych funkcji na zbiorze
\(\displaystyle{ X}\).
Zauważmy najpierw, że
\(\displaystyle{ B(X)}\) jest zamknięty na dodawanie i mnożenie dwóch funkcji. Ponadto funkcja stale równa
\(\displaystyle{ 1}\) jest elementem neutralnym dla mnożenia. Stąd
\(\displaystyle{ B(X)}\) jest przemiennym pierścieniem z
\(\displaystyle{ 1}\). Definiujemy
$$\mathfrak{I} = \big\{f\in B(X)\,\big|\,\mbox{ zbiór wszystkich }x\in X\mbox{ takich, że }f(x) = 0\mbox{ jest koprzeliczalny (jego dopełnienie jest co najwyżej przeliczalne)}\,\big\}$$
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \mathfrak{I}}\) jest ideałem właściwym w
\(\displaystyle{ B(X)}\). Rozszerzmy teraz
\(\displaystyle{ \mathfrak{I}}\) do ideału maksymalnego
\(\displaystyle{ \mathfrak{m}}\) pierścienia
\(\displaystyle{ B(X)}\). To zawsze można zrobić, o ile mamy pewnik wyboru, a zakładam, że mamy.
Lemat.
Ideał \(\displaystyle{ \mathfrak{m}}\) nie zawiera żadnej funkcji \(\displaystyle{ f \in B(X)}\), która znika na zbiorze co najwyżej przeliczalnym.
Dowód.
Załóżmy przeciwnie, że istnieje
\(\displaystyle{ f \in \mathfrak{m}}\) taka, że jej zbiór zer
\(\displaystyle{ Z(f) = \{x\in X\,|\,f(x) = 0\}}\) jest co najwyżej przeliczalny. Weżmy
$$\mathbb{1}_{Z(f)}(x) = \begin{cases}1&\mbox{ dla }x\in Z(f)\\
0&\mbox{ w przeciwnym przypadku }
\end{cases}
$$
czyli
\(\displaystyle{ \mathbb{1}_{Z(f)}}\) jest funkcją charakterystyczną zbioru
\(\displaystyle{ Z(f)}\). Oczywiście
\(\displaystyle{ \mathbb{1}_{Z(f)}}\) znika na zbiorze koprzeliczalnym, bo
\(\displaystyle{ Z(f)}\) jest zbiorem przeliczalnym. Zatem
\(\displaystyle{ \mathbb{1}_{Z(f)} \in \mathfrak{I}}\). Stąd
\(\displaystyle{ \mathbb{1}_{Z(f)} \in \mathfrak{m}}\), a więc dostajemy, że
\(\displaystyle{ f + \mathbb{1}_{Z(f)}\in \mathfrak{m}}\). To jednak jest niemożliwe, bo funkcja
\(\displaystyle{ f + \mathbb{1}_{Z(f)}}\) nie ma zer, a więc jest odwracalnym elementem pierścienia
\(\displaystyle{ B(X)}\). Nie może zatem należeć do ideału właściwego, jakim jest
\(\displaystyle{ \mathfrak{m}}\). To kończy dowód lematu.
Niech teraz
\(\displaystyle{ \pi:B(X) \twoheadrightarrow B(X)/\mathfrak{m}}\) będzie odwzorowaniem ilorazowym. Weźmy dwie funkcje
\(\displaystyle{ f_1,f_2 \in B(X)}\). Wówczas z
Lematu wynika, że
$$\mbox{ zbiór }x\in X\mbox{ takich, że }(f_1-f_2)(x) = 0\mbox{ jest co najwyżej przeliczalny}\Rightarrow f_1 - f_2 \not \in \mathfrak{m}\Leftrightarrow \pi(f_1) \neq \pi(f_2)$$
Wracamy teraz do rodziny
\(\displaystyle{ \mathcal{F}}\). Z tego, co napisano wyżej, wynika, że obcięcie
\(\displaystyle{ \pi_{\mid \mathcal{F}}}\) jest injektywne. Zatem
\(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest równoliczny z
\(\displaystyle{ \pi(\mathcal{F})}\), który jest podzbiorem
\(\displaystyle{ B(X)/\mathfrak{m}}\).
Teraz zakończymy uświadamiając sobie, że
\(\displaystyle{ B(X)/\mathfrak{m}}\) jest mocy
\(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). W tym celu zauważmy najpierw, że
\(\displaystyle{ B(X)}\) jest nie tylko pierścieniem, ale jest też rzeczywistą algebrą Banacha ze względu na normę
$$B(X) \ni f \mapsto \sup_{x\in X}|f(x)|\in [0,+\infty)$$
Następnie każdy ideał maksymalny w
\(\displaystyle{ B(X)}\) jest domknięty ze względu na topologię wyznaczoną przez tę normę (to ogólna prawda na temat algebr Banacha nad dowolnymi ciałem z wartością bezwzględną, a na pewno prawda dla takich algebr nad
\(\displaystyle{ \mathbb{R},\mathbb{C}}\), ciałem liczb
\(\displaystyle{ p}\)-adycznych itp.). Z tego wynika, że iloraz
\(\displaystyle{ B(X)/\mathfrak{m}}\) jest algebrą Banacha nad
\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) z tzw. normą ilorazową. Z drugiej strony
\(\displaystyle{ B(X)/\mathfrak{m}}\) jest ciałem (każdy niezerowy element jest odwracalny i wszystko jest przemienne). Twierdzenie Gelfanda-Mazura (a tak naprawdę Mazura, bo to Mazur zajmował się rzeczywistymi algebrami Banacha) stwierdza, że jedynymi rzeczywistymi algebrami Banacha, które jednocześnie są pierścieniami z dzieleniem (każdy niezerowy element jest odwracalny), są z dokł. do izomorfizmu
$$\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$$
Wszystkie one mają jednak moc
\(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\).