Matematyka.pl

Na ile sposobów można \(\displaystyle{ 2^n + 1 }\) przedstawić jako sumę kolejnych liczb naturalnych

Jest to konsekwencja znanego twierdzenia, które mówi, że ilość takich rozkładów jest równe połowie wszystkich rozkładów , oraz to, że ilość rozkładów z zadania jest równe ilości rozkładów o nieparzystej liczbie składników a to jest równe ilości dzielników największego czynnika nieparzystego...

Zilustruję to na przykładzie np. dla 6...

\(\displaystyle{ 6=6, 1+2+3=6 }\)

teraz reszta:

\(\displaystyle{ -5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6}\)

\(\displaystyle{ 0+1+2+3=6}\)

Razem jest cztery rozkłady a tych zadaniowych jest dwa, tyle samo co rozkładów o nieparzystej liczbie składników...

pokażmy dla \(\displaystyle{ 9}\) liczba zadaniowa

\(\displaystyle{ 9=9-(n)}\) ,

\(\displaystyle{ 4+5=9-(p)}\) ,

\(\displaystyle{ 2+3+4=9-(n)}\)

teraz pozostałe:

\(\displaystyle{ -8-7-6-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=9-(p)}\) ,

\(\displaystyle{ -3-2-1+0+1+2+3+4+5=9-(n)}\) ,

\(\displaystyle{ -1+0+1+2+3+4=9-(p)}\)

\(\displaystyle{ n}\) - nieparzyste,

\(\displaystyle{ p}\) - parzyste

wszystkich rozkładów jest 6 , te co nas interesują trzy czyli tyle samo co wszystkich, które mają ilość składników nieparzystych...

Zauważmy bo stąd się bierze to twierdzenie, że środkowy składnik przy rozkładzie na nieparzystą ilość składników jest zawsze dzielnikiem naszej rozkładalnej liczby, więc tyle rozkładów z ilością nieparzystą składników ile jest dzielników największej liczby nieparzystej...

W naszym zadaniu liczba jest nieparzysta więc trzeba poszukać jej wszystkich dzielników i tyle

\(\displaystyle{ \Theta(2^n+1)}\)

Zauważmy też, że liczby postaci:

\(\displaystyle{ 2^n}\) mają tylko jeden rozkład właściwy:

\(\displaystyle{ 2^n=2^n}\)


np:

\(\displaystyle{ \Theta(33=2^5+1=3 \cdot 11)=2 \cdot 2=4 }\)

\(\displaystyle{ 33=33}\)

\(\displaystyle{ 16+17=33}\)

\(\displaystyle{ 3+4+5+6+7+8=33}\)

\(\displaystyle{ 10+11+12=33}\)