Ciąg i granica
: 29 sty 2024, o 19:10
autor: mol_ksiazkowy
Czy istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty} \frac{a_0+...+a_n}{n+1}}\) gdzie
\(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem
\(\displaystyle{ 0, 1, 0, 0, 2,0, ... }\) czyli takim, że
\(\displaystyle{ a_{n^2}=n}\) dla dowolnego
\(\displaystyle{ n}\), a wszystkie inne wyrazy są równe
\(\displaystyle{ 0}\)
Re: Ciąg i granica
: 31 sty 2024, o 17:31
autor: arek1357
Wystarczy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ a_{n}=0,1,0,0,2,0,0,0,0,3,0,0,...,4,0,0,...}\)
oraz:
\(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}+a_{2}+...=0,1,1,1,3,3,3,3,3,6,6,6,...}\)
nasz ciąg jak widać na swoich "stopniach" czyli tam gdzie zaczynają się (jedynki, trójki, szóstki,...) i tam gdzie się kończą: (jedynki, trójki, szóstki,...)
będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} , \frac{1}{4} }\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{5} , \frac{3}{9} }\)
\(\displaystyle{ \frac{6}{10} , \frac{6}{16} }\)
.....................................................
Łatwo teraz te dwa podciągi uogólnić:
\(\displaystyle{ 2,5,10,17,...= n^2+1}\)
\(\displaystyle{ 4,9,16,... =(n+1)^2}\)
Góra to też nic trudnego, ponieważ:
\(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n^2}= \frac{n^2+n}{2} }\)
czyli mamy dwa podciągi (górny i dolny):
\(\displaystyle{ \lim\inf_{n\to\infty} \frac{n^2+n}{2(n^2+1)} = \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \lim\sup_{n\to\infty} \frac{n^2+n}{2(n+1)^2} = \frac{1}{2} }\)
Znaczy, że ciąg ma granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_{n}= \frac{1}{2} }\)