Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” 2022/23
: 25 sty 2024, o 16:40
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wpisanego w sferę o promieniu \(\displaystyle{ R}\), który ma największą objętość.
Niewątpliwie ostrosłupy o wysokości mniejszej od \(\displaystyle{ R}\) mają mniejszą objętość od ostrosłupa dla którego \(\displaystyle{ h=R}\), więc interesują mnie tylko takie w których \(\displaystyle{ R \le h<2R}\)
Z przekroju ostrosłupa zawierającego przekątną podstawy i dwie krawędzie boczne mam:
\(\displaystyle{ (h-R)^2+( \frac{a \sqrt{2} }{2} )^2=R}\)
a stąd
\(\displaystyle{ V(h)= \frac{1}{3}(2h(2R-h))h }\)
Największą objętość ma ostrosłup o \(\displaystyle{ h= \frac{4}{3}R }\)
Pozostaje policzyć długość krawędzi i ich sumę. Mi wychodzi \(\displaystyle{ 4( \frac{4R}{3}+2 \sqrt{2} R)}\) .