Matematyka.pl

Czy każde różnowartościowe i ciągłe przekształcenie przestrzeni zwartej na przestrzeń zwartą jest homeomorfizmem

Zadanie wymaga niestety doprecyzowania - niektórzy za przestrzeń zwartą uznają taką, której każde pokrycie zbiorami otwartymi ma skończone podpokrycie, inni zaś wymagają dodatkowo, by spełniała ona warunek Hausdorffa (\(\displaystyle{ T_2}\)). Nawiasem mówiąc, podany problem jest jednym z powodów, dla których drugi wariant definicji jest tak atrakcyjny.

Ja jednak z tym drugim warunkiem wolałbym się powstrzymać...


\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\)

Niech \(\displaystyle{ Y}\) ma topologię trywialną

przekształcenie jest ciągłe i czy to będzie homeomorfizmem ?


\(\displaystyle{ Y }\)jest jak najbardziej zwarta, \(\displaystyle{ X }\)też możemy uzwarcić i czy jest? na pewno nie musi...

Przykład:

\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3\right\} }\)

\(\displaystyle{ \tau_{X} =\left\{ \emptyset, X, \left\{ 1\right\} ,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 1,2\right\}\right\} }\)

\(\displaystyle{ Y=X=\left\{ 1,2,3\right\} }\)

\(\displaystyle{ \tau_{Y} =\left\{ \emptyset, X\right\} }\)

\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\)

\(\displaystyle{ f=id}\)

Oczywiście:

\(\displaystyle{ X, Y}\) - zwarte

\(\displaystyle{ f}\) - ciągłe

ale:

\(\displaystyle{ f^{-1}}\) - nie ciągłe, czyli \(\displaystyle{ f }\) nie homeomorfizm...

inni zaś wymagają dodatkowo, by spełniała ona warunek Hausdorffa

Ten wymóg to kwiatek do kożucha...

arek1357 pisze: ↑24 sty 2024, o 12:01Ten wymóg to kwiatek do kożucha...

Mylisz się, to bardzo pożyteczne i wygodne połączenie. Stosuje je m.in. Ryszard Engelking w klasycznej pozycji Topologia ogólna.

Tak tylko zawęża obszar myślenia bo niektórym się wyda, że przestrzenie \(\displaystyle{ T_{1}, T_{0}}\) i poniżej już nie mogą być zwarte i nikt dla nich nie będzie zwartości używał a np. każda skończona przestrzeń będzie jednak zwarta...
Może mówię to ze względu na sentyment do zbiorów skończonych jaki niewątpliwie mam...