Matematyka.pl

Dzień dobry,

Mam problem z takim działaniem: \(\displaystyle{ \cos 36^{\circ} \cdot \cos 108^{\circ}}\)

Proszę o wskazówki

\(\displaystyle{ \sin(18^{o})= \frac{ \sqrt{5}-1 }{4} }\)

A bez znajomości powyższego.
Zauważyć, że drugi cosinus to sinus (z minusem) jakiegoś kąta. Rozszerzyć otrzymane przez cosinus takiego kąta, aby w liczniku zobaczyć dwa razy sinusa podwojonego kąta. Potem skrócenie, bo wcześniej wzór redukcyjny i jest \(\displaystyle{ (-0,25)}\).

Taki żarcik:
\(\displaystyle{ ^{\circ}}\) mode on
\(\displaystyle{ \begin{align}\cos 36 \cdot \cos 108=&\frac12\left[\cos 72 + \cos 144\right]\\
=&\frac14\left[\cos 72 + \cos 144+\cos(-72) + \cos (-144)+\cos 0 -1\right]\\
=&\frac14[\red{\cos 72 + i\sin 72+ \cos 144+i\sin 144+\cos(-72) +i\sin(-72)+ \cos (-144)+i\sin(-72)+\cos 0+i\sin 0}-1]\\
=&\frac14[\red{0}-1]=-\frac14\end{align}}\)