Matematyka.pl

Mam równanie: \(\displaystyle{ u_{xxyy}=0}\)

Rozwiązując:
\(\displaystyle{ u_{xxy}=\int (0 dy)=C_{1}(x)}\)
\(\displaystyle{ u_{xx}=\int (C_{1}(x) dy)=yC_{1}(x)+C_{2}(x)}\)

Czy w 2 kolejnych krokach mogę zapisać:
\(\displaystyle{ u_{x}=\int (yC_{1}(x)+C_{2}(x)) dx = yC_{1}(x) + C_{2}(x) +C_{3}(y)}\)
\(\displaystyle{ u(x,y)=\int (yC_{1}(x)+C_{2}(x)+C_{3}(y))dx=yC_{1}(x)+C_{2}(x)+xC_{3}(y)+C_{4}(y)}\)

Czy powinienem jednak po każdym całkowaniu zmienić nieznane funkcje zależne od x'a w ten sposób np.:
\(\displaystyle{ u_{x}=\int (yC_{1}(x)+C_{2}(x)) dx = y \alpha_{1}(x) + \alpha_{2}(x) +C_{3}(y)}\)
\(\displaystyle{ u(x,y)=\int (y\alpha_{1}(x)+\alpha_{2}(x)+C_{3}(y))dx=\beta_{1}(x)+\beta_{2}(x)+xC_{3}(y)+C_{4}(y)}\)

Bo na zajęciach rozwiązywaliśmy takie równanie:
\(\displaystyle{ u_{xy}=9x^{2}y^{2}}\)
\(\displaystyle{ u_{y}=3x^{3}y^{2}+\alpha(y)}\)
\(\displaystyle{ u(x,y)=x^{3}y^{3}+\beta(y)+\theta(x)}\)

I mam zanotowane w zeszycie, że: \(\displaystyle{ \int (\alpha(y) dy)=\beta(y)}\) -> wynik całki z nieznanej funkcji -> inna nieznana funkcja

Czy jeśli całkuję w ten sposób to muszę zmieniać "nazwę stałej/nieznanej funkcji" -> czy oba podejścia są prawidłowe? Bo tak tylko się zastanawiam jeśli napiszę, że po scałkowaniu mam tą samą nieznaną funkcję to czy nie implikuje to, że ta nieznana funkcja będzie pokroju \(\displaystyle{ e^{x}}\),\(\displaystyle{ e^{-x}}\) lub innych, bo pewnie jest więcej, których pochodna i całka są sobie równe (ale jednak w jakiś sposób ograniczało by to możliwe funkcje.

A jeśli nie to jaki mógł być powód zapisania tego w sposób w przytoczonym przeze mnie przykładzie?

To zależy jakiej dokładności/formalności od Ciebie wymagają. A to najlepiej określić obserwując prowadzącego i odpowiadając sobie na pytanie jak on robi. Formalnie, powinieneś zmieniać stałe. I może warto to robić na początku. Jednak każdy matematyk powinien zrozumieć co się dzieje, gdy tego nie robisz. A niezmienianie stałych jest podyktowane rozsądkiem bo pisanie miliona indeksów zaczyna po pewnym czasie denerwować. Żaden rozsądny człowiek zajmujący się równaniami nie powinien myśleć, że zamiania \(\displaystyle{ \int_{}^{} C(x)\,\dd x}\) na \(\displaystyle{ C(x)}\) implikuje ukryte równanie na \(\displaystyle{ e^x}\). O tym się myśli tak "całka z względnie dowolnej dowolnej funkcji to inna względnie dowolna funkcja". W matematyce wbrew pozorom jej formalności jest mnóstwo takich miejsc. Trzeba się przyzwyczaić.