Równania i nierówności logarytmiczne

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
sopi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 11 lut 2007, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kielc
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 7 razy

Równania i nierówności logarytmiczne

Post autor: sopi » 24 paź 2007, o 11:06

Witam.
Mam pare problemowych róznań logarytmicznych i prosiłbym o skromną pomoc

\(\displaystyle{ 1.\ \log_{\frac{1}{2}}(x+2)+\log^2_{\frac{1}{2}}(x+2)+\log^3_{\frac{1}{2}}(x+2)+....=-2\\
2.\ 1+\log_{2}x\sin2x+\log^2_{2}x\sin2x+\log^3_{2}x\sin2x+....=\frac{2}{3} \hbox{dla} x\in\\
3.\ (1- \log x)^{2}+(1- \log x)^{3}+(1- \log x)^{4}+...qslant3\log x-1\\
4.\begin{cases} \log_5x+3^{\log_{3}y}=7\\x^{y}=5^{12}\end{cases}\\}\)

Z góry dzięki za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
ariadna
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2702
Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 642 razy

Równania i nierówności logarytmiczne

Post autor: ariadna » 24 paź 2007, o 16:44

1)

Skorzystaj z sumy szeregu, masz dane
\(\displaystyle{ a_{1}=log_{\frac{1}{2}}(x+2)}\)
\(\displaystyle{ q=log_{\frac{1}{2}}(x+2)}\)
Najpierw założenie:
\(\displaystyle{ -1}\)

sopi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 11 lut 2007, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kielc
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 7 razy

Równania i nierówności logarytmiczne

Post autor: sopi » 26 paź 2007, o 16:21

MA ktoś pomysł na ten ukłąd równań??

Awatar użytkownika
Szemek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Równania i nierówności logarytmiczne

Post autor: Szemek » 26 paź 2007, o 17:34

\(\displaystyle{ \begin{cases}log_5x+3^{\log_{3}y}=7\\x^{y}=5^{12}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x>0 \wedge y>0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}log_5x+y=7\\x^{y}=5^{12}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=7-log_5x\\x^{y}=5^{12}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=7-log_5x\\x^{7-log_5x}=5^{12}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=7-log_5x\\x^{7-log_5x}=x^{log_x{5^{12}}}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=7-log_5x\\{7-log_5x}={log_x{5^{12}}}\end{cases}}\)
Od tego miejsca rozwiązuję tylko drugie równanie, żeby nie wydłużać wiadomości, później wstawię wynik z powrotem do układu.
\(\displaystyle{ {7-log_5x}={log_x{5^{12}}}}\)
\(\displaystyle{ {7-log_5x}={12}{log_x{5}}}\)
\(\displaystyle{ {7-log_5x}={12}{\frac{log_{5}{5}}{log_5{x}}}\)
\(\displaystyle{ {7-log_5x}={\frac{12}{log_5{x}}}\)
\(\displaystyle{ {7-log_5x}={\frac{12}{log_5{x}}}\)
\(\displaystyle{ log_5x-7+\frac{12}{log_5{x}}=0}\)
\(\displaystyle{ t=log_5x}\)
\(\displaystyle{ t-7+\frac{12}{t}=0}\)|\(\displaystyle{ \cdot t}\)
\(\displaystyle{ t^2-7t+12=0}\)
\(\displaystyle{ (t-3)(t-4)=0}\)
\(\displaystyle{ t=3 t=4}\)
\(\displaystyle{ log_5x=3 log_5x=4}\)
\(\displaystyle{ x=125 x=625}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=7-log_5x\\{7-log_5x}={log_x{5^{12}}}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=7-3\\x=125\end{cases} \begin{cases}y=7-4\\x=625\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=4\\x=125\end{cases} \begin{cases}y=3\\x=625\end{cases}}\)

ODPOWIEDZ