Matematyka.pl

Funkcja \(\displaystyle{ g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}}\) jest ciągła \(\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow-\infty} g(x)=7=\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)}\) oraz \(\displaystyle{ g(17)=3 e}\)
a) Udowodnij, że g osiąga swoją wartość największą
b) Udowodnij, że równanie
\(\displaystyle{
g(y)=g(y+\pi)
}\)
ma przynajmniej jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R} }\).

W (a) weź \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) tak malutki aby wszystko przechodziło - powiedzmy \(\displaystyle{ \left| 7-3e\right|/1000 }\). Z założenia o granicach istnieje \(\displaystyle{ M>18}\) takie, że na przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty,M)}\) oraz \(\displaystyle{ (M,\infty)}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) siedzi w \(\displaystyle{ \epsilon}\)-otoczniach wartości \(\displaystyle{ 7}\). Natomiast na zwartym przedziale \(\displaystyle{ \left[ -M,M\right] }\) funkcja ciągła osiąga swoje maximum i jest to maximum osiągane wewnątrz tego przedziału a nie sztucznie na jego krańcu ponieważ \(\displaystyle{ 18\in \left[ -M,M\right] }\) oraz \(\displaystyle{ g(17)>7+\epsilon}\). W (b) rozważ funkcję \(\displaystyle{ g(y)-g(y+\pi)}\) dla \(\displaystyle{ y=\text{argmax } (g) }\) oraz \(\displaystyle{ y=\text{argmax } (g) - \pi}\).