Udowodnienie iloczynu skalarnego i wyznaczenie rzutu ortogonalnego macierzy
: 13 sty 2024, o 22:09
Załóżmy, że \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ n > 1}\).
(1) Udowodnić, że poniższa funkcja jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n,n} }\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\):
(1) Udowodnić, że poniższa funkcja jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n,n} }\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \left\langle A, B \right\rangle = tr(A^T B)}\), gdzie \(\displaystyle{ tr()}\) - ślad macierzy i \(\displaystyle{ A, B \in \mathbb{R}^{n,n} .}\)
(2) Niech \(\displaystyle{ B_k \in \mathbb{R}^{n,n}}\) oznacza macierz, w której \(\displaystyle{ k}\)-ta kolumna to wektor \(\displaystyle{ [1, 1, . . . , 1] ^{T} }\), a pozostałe kolumny to wektory zerowe. Wyznacz rzut ortogonalny macierzy \(\displaystyle{ I_n}\) na podprzestrzeń span\(\displaystyle{ (B_1, B_2, . . . , B_n)}\).