Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie liczbą z lewostronnie nieskończonej tabeli
\(\displaystyle{ * \ * \ 5 \\
\ \ \ \ \ \ 25 \\
* \ 625 \\
................}\)
i) \(\displaystyle{ d = ....90625}\) - lewy skos zaczynający się od cyfry \(\displaystyle{ 5}\) / tj . liczba o nieskończonej ilości cyfr/ jest taka, że \(\displaystyle{ d^2=d}\) oraz
ii) tę samą własność ma liczba \(\displaystyle{ e=1-d = ....09376}\), tj. \(\displaystyle{ e^2=e}\)
iii) \(\displaystyle{ de=0}\)
W tabeli w każdym wierszu jest kwadrat liczby poprzedniej (wierszu powyżej) i \(\displaystyle{ n}\) ta i \(\displaystyle{ n+1}\) liczba liczba tablicy te liczby mają jednakowe \(\displaystyle{ n}\) ostatnich cyfr/

Gwoli ścisłości - wszystko odbywa się w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10} = \projlim_{n \in \mathbb{N}} \big( \mathbb{Z} / 10^n \mathbb{Z} \big)}\) (liczby \(\displaystyle{ 10}\)-adyczne całkowite).

Udowodnić też, że tylko \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ e}\) (poza zerem i jedynką ) mają tę własność.

Ciekawostką jest też, że jeżeli weźmiemy potęgi \(\displaystyle{ 5}\):

\(\displaystyle{ 5=101_{2} }\)

\(\displaystyle{ 5^{2^1}=11001_{2} }\)

\(\displaystyle{ 5^{2^2}=1001110001_{2} }\)

........................

\(\displaystyle{ 5^{2^n} \rightarrow ...........00000..........01_{2}}\)

w systemie dwójkowym

\(\displaystyle{ Z_{10}=Z_{5} \times Z_{2} }\) - adycznie

ale \(\displaystyle{ 2^{5^n}}\) już tak ładnie się nie stabilizuje w piątkowym systemie...

więc:

\(\displaystyle{ \left( 2^{5^n} , 2^{5^n}\right) \rightarrow \left( a_{5},0 \right)=A }\)

\(\displaystyle{ \left( 5^{2^n} , 5^{2^n}\right) \rightarrow \left( 0,1 \right)=B }\)

więc:

\(\displaystyle{ A \cdot B=0 }\)

Gorzej pokazać, że są to jedyne takie granice...


ale szesnastka się ładnie stabilizuje w \(\displaystyle{ Z_{5}}\)

I jej granica dąży do jedynki...

czyli:

\(\displaystyle{ 16^{5^n} \rightarrow 1=C}\)

Co daje:

\(\displaystyle{ B+C=1}\)

co rozjaśnia sprawę, ale tajemnicą la mnie jest czemu to szesnastka się stabilizuje a nie dwójka...


Aneks:

Dasio11 pisze: 13 sty 2024, o 14:56 \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10} = \projlim_{n \in \mathbb{N}} \big( \mathbb{Z} / 10^n \mathbb{Z} \big)}\)

Co to \(\displaystyle{ \projlim_{n \in \mathbb{N}}}\)? Bo nie mogę znaleźć w Internecie, pewnie nie wiem jak szukać.

10-adyczne liczby

arek1357 pisze: 16 sty 2024, o 22:30 10-adyczne liczby

Pytanie jest chyba raczej o \(\displaystyle{ \projlim_{n \in \mathbb{N}} \big( \mathbb{Z} / 10^n \mathbb{Z} \big)}\). Może chodzi o granicę rzutową? Inverse limit. Najbezpieczniej jednak poczekać na autora. "Konstrukcja" liczb p-adycznych granicami odwrotnymi jest opisana w George M. Bergman, An invitation to General Algebra and Universal Constructions.

na str. 299.

Jednak tablica zaprezentowana przez Mola to liczby 10-adyczne i tu nie ma dyskusji...

Samouk1 pisze: 16 sty 2024, o 22:16Co to \(\displaystyle{ \projlim_{n \in \mathbb{N}}}\)? Bo nie mogę znaleźć w Internecie, pewnie nie wiem jak szukać.

Granica odwrotna. System odwrotny składa się z pierścieni \(\displaystyle{ R_i = \ZZ / 10^i \ZZ}\) indeksowanych liczbami naturalnymi i homomorfizmów \(\displaystyle{ f_{ij} : R_j \to R_i}\), \(\displaystyle{ f_{ij}(x) = x \bmod 10^i}\) dla \(\displaystyle{ i \le j}\). Pierścień \(\displaystyle{ \ZZ_{10}}\) jest granicą odwrotną tego systemu. Jednocześnie można traktować \(\displaystyle{ R_i}\) jako przestrzenie topologiczne dyskretne (skończone, a więc zwarte), a \(\displaystyle{ f_{ij}}\) jako ciągłe surjekcje, co czyni z \(\displaystyle{ \ZZ_{10}}\) również przestrzeń zwartą.

Intuicyjnie zaś \(\displaystyle{ \ZZ_{10}}\) składa się z takich uogólnionych liczb całkowitych, które dane są przez swoje nieskończone rozwinięcia w systemie dziesiątkowym. Dodaje się je i mnoży operując na cyfrach tak jak dla zwykłych liczb całkowitych.

I Udowodnić też, że \(\displaystyle{ d}\) jest nieodwracalne (nie istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ xd=1}\)).

jest to element Idempotentny, czyli dzielnik zera...

Tylko w przestrzeniach \(\displaystyle{ p}\)-adycznych gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą nie ma dzielników zera...