Matematyka.pl

Dana jest funkcja

\(\displaystyle{ f: \left\{ 0,1\right\}^4 \rightarrow \left\{ 0,1\right\}^4 , f(x,y,z,t) = (x,y+x,z+y,t+z) }\)

Wyznaczyć funkcję \(\displaystyle{ f ^{ \beta + 2} }\) , gdzie \(\displaystyle{ \beta }\) oznacza (ilość liter w nazwisku) \(\displaystyle{ \bmod{3} + 1}\).

Załóżmy , że w moim nazwisku jest \(\displaystyle{ 6}\) liter, co daje \(\displaystyle{ \beta = 1 }\), a więc mam do policzenia funkcję \(\displaystyle{ f ^{3} }\).

Czy tak to powinno być zrobione?

\(\displaystyle{ f(f(x,y,z,t)) = f(x,y+x,z+y,t+z) = (x,(y+x)+x,(z+y)+(y+x),(t+z)+(z+y)) = (x,y+2x,z+2y+x,t+2z+y)}\)

\(\displaystyle{ f(f ^{2}(x,y,z,t)) = f(x,y+2x,z+2y+x,t+2z+y) = (x,(y+2x)+x,(z+2y+x)+(y+2x),(t+2z+y)+(z+2y+x)) =\\= (x,y+3x,z+3y+3x,t+3z+3y+x) }\)

Jeżeli jest to pierścień:

\(\displaystyle{ \ZZ_{2}}\)

To:

\(\displaystyle{ 2a=0, 3a=a,}\)...

\(\displaystyle{ f^4=id}\)

glimbo37 pisze: ↑7 sty 2024, o 11:24Czy tak to powinno być zrobione?

\(\displaystyle{ f(f(x,y,z,t)) = f(x,y+x,z+y,t+z) = (x,(y+x)+x,(z+y)+(y+x),(t+z)+(z+y)) = (x,y+2x,z+2y+x,t+2z+y)}\)

\(\displaystyle{ f(f ^{2}(x,y,z,t)) = f(x,y+2x,z+2y+x,t+2z+y) = (x,(y+2x)+x,(z+2y+x)+(y+2x),(t+2z+y)+(z+2y+x)) =\\= (x,y+3x,z+3y+3x,t+3z+3y+x) }\)

Tak.

arek1357 pisze: ↑7 sty 2024, o 11:40 Jeżeli jest to pierścień:

\(\displaystyle{ \ZZ_{2}}\)

Nie jest.

JK

To co to jest?

jak tam wygląda dodawanie? i mnożenie???

Co to za struktura?

Wygląda to na przestrzeń liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \ZZ_{2}}\)

Po chwili zastanowienia przyznaję Ci rację.

Zatem jest pytanie do glimbo37: co oznacza dodawanie w definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) ? Czy jest to - jak się należy domyślać - dodawanie modulo \(\displaystyle{ 2}\)? Bo jeśli tak, to wzór na złożenie będzie wyglądał nieco inaczej, niż napisałeś (a ja - nieco zbyt szybko - potwierdziłem).

Tak, oczywiście miało być tak jak mówisz, poniżej podaje jak ja to widzę. Nie wiem jak zrobić dodawanie modulo 2 w latex , więc po prostu jak mamy x+x to w dodawaniu modulo 2 wynik jest 0, więc się kasują.

\(\displaystyle{ f(x,y,z,t) = (x,y+x,z+y,t+z)}\)

\(\displaystyle{ f ^{2}(x,y,z,t)= f(f(x,y,z,t)) = (x,y+x+x,z+y+y+x,t+z+z+y) = (x,y,z+x,t+y)}\)

\(\displaystyle{ f ^{3} (x,y,z,t)=f(f ^{2}(x,y,z,t)) = f((x,y+x,z+y,t+z)) = (x,y+x,z+y+x,t+z+y+x)}\)

\(\displaystyle{ f ^{4} (x,y,z,t)=f(f ^{3}(x,y,z,t)) = f(((x,y+x,z+y,t+z))) = (x,y+x+x,z+y+y+x+x,t+z+z+y+y+z+z) =\\= (x,y,z,t) }\)

OK.

JK