Matematyka.pl

Polecenie: Znajdź rozwiązanie szczególne równania: \(\displaystyle{ u_{x}+u_{y}+2u_{z}=0}\) gdy \(\displaystyle{ u(1,y,z)=yz}\)

Z równaniem sobie poradziłem, niestety nie wiem jak wstawić warunek i otrzymać rozwiązanie szczególne (bo na zajęciach robiliśmy tylko z warunkiem przy dwóch zmiennych (x,y) gdy w rozwiązaniu ogólnym dowolnej funkcji F był tylko jeden człon (pokazane na samym dole).

Dla naszego równania (metodą całek pierwszych):

\(\displaystyle{ \frac{dx}{1}=\frac{dy}{1}=\frac{dz}{2} \\
\int{dx}=\int{dy} \Rightarrow x=y+C_{1} \Rightarrow C_{1}=x-y\\
2\int{dx}=\int{dz} \Rightarrow 2x=z+C_{2} \Rightarrow C_{2}=2x-z}\)

Stąd rozwiązanie ogólne: \(\displaystyle{ u(x,y,z)=F(x-y,2x-z)}\)

Jak mam teraz podstawić warunek żebym otrzymał rozwiązanie szczególne, bo podstawiając w ten sposób:
\(\displaystyle{ yz=F(1-y,2-z)}\)
nie wiem co z tym dalej zrobić mógłbym zapisać układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 1-y=yz \\ 2-z=yz \end{cases} }\)
Ale co dalej przecież tu chodzi o dostanie rozwiązania szczególnego (wyrażenia funkcji u dla tego przypadku), a nie obliczenia y i z.
Sprawdziłem wolframem (i pomijając znak, dobrze obliczyłem rozwiązanie ogólne ->

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input?i=D%5Bu%5Bx%2Cy%2Cz%5D%2Cx%5D%2BD%5Bu%5Bx%2Cy%2Cz%5D%2Cy%5D%2B2*D%5Bu%5Bx%2Cy%2Cz%5D%2Cz%5D%3D0

tylko nie wiem jak wstawić warunek do wolfram alpha, ale chyba się nie da, bo po przecinku jak wstawia się warunek (w ten sposób -> D[u[x,y,z],x]+D[u[x,y,z],y]+2*D[u[x,y,z],z]=0,u(1,y,z)=y*z) nie liczy.

PS:
Na zajęciach mieliśmy takie rozwiązanie ogólne, taki warunek i tak rozwiązane:
\(\displaystyle{ u(x,y)=F(2x-3y), u(0,y)=81y^{4} \Rightarrow
81y^{4}=F(2*0-3y) \Rightarrow t=-3y\\
F(t)=81 \cdot (-\frac{t}{3})^{4}=t^{4}}\)

Rozwiązanie szczególne: \(\displaystyle{ u=(2x-3y)^{4}}\)

Rozwiązanie \(\displaystyle{ u}\) wyrażające się poprzez dowolną (różniczkowalna) funkcję \(\displaystyle{ F}\) jest wyznaczona poprawnie. A ponieważ \(\displaystyle{ u(x,y,z)}\) ma dodatkowo spełniać warunek \(\displaystyle{ u(1,y,z)=yz}\) jest to tak naprawdę warunek na funkcję \(\displaystyle{ F}\) (lub potencjalnie na całą klasę takich funkcji). Jeśli \(\displaystyle{ F(1-y,2-z)=yz}\) to oznacza to ni mniej ni więcej, że

\(\displaystyle{ F( \clubsuit , \spadesuit ) = (1 - \clubsuit ) (2 - \spadesuit) }\)

tak aby się zgadzało

\(\displaystyle{ F( 1-y , 2-z ) = (1 - (1-y) ) (2 -(2-z)) =yz. }\)

W ogólności jeśli \(\displaystyle{ F(f_1(x),f_2(y))=g(x,y)}\) to (o ile da się odwrócić \(\displaystyle{ f_1,f_2}\)); \(\displaystyle{ F(x,y)=g(f_1^{-1}(x),f_2^{-1}(y))}\). Zatem

\(\displaystyle{ u(x,y,z)=(1-(x-y))(2-(2x-z)).}\)

PS idea jest prosta... jak wiesz, że powiedzmy (przesuniętą/odwrócona) funkcja \(\displaystyle{ f(10-x)}\) jest równa \(\displaystyle{ x^{ \pi }+\sin(x)}\) to wiesz ile wnosi \(\displaystyle{ f(x)}\). Trzeba jedynie odwrócić myślenie wewnątrz \(\displaystyle{ x}\). Częsta sztuczka z równań funkcyjnych. Tu odwrócenie przesunięcie jest na dwóch osiach.

Czy zatem mam rację/nie mam błędu w takim rozumowaniu \(\displaystyle{ u(x,y,z)=F(\frac{y}{x},z-\frac{xy}{2}),u(x,y,0)=x^{2}+y^{2}}\)
Przyjmę \(\displaystyle{ \clubsuit=\frac{y}{x},\spadesuit=\frac{-xy}{2} stąd: F(\clubsuit,\spadesuit)=(\frac{y}{\clubsuit})^{2}+(\frac{-2\spadesuit}{x})^{2}}\)
Stąd: \(\displaystyle{ F(\frac{y}{x},\frac{-xy}{2})=(\frac{y}{\frac{y}{x}})^{2}+(\frac{-2*\frac{xy}{2}}{x})^{2}}\)
Wracając do x,y,z:
\(\displaystyle{ F\left( \frac{y}{x},z-\frac{xy}{2}\right) =\left( \frac{y}{\frac{y}{x}}\right) ^{2}+\left( \frac{-2(z-\frac{xy}{2})}{x}\right)=x^{2}+\left(\frac{-2z+xy}{x} \right)^{2} }\)

Bo innej osobie wyszło tak:
\(\displaystyle{ F\left( \frac{y}{x},z-\frac{xy}{2}\right)=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right) \cdot \left( -2z+xy\right) }\)

Dla obu równań dla \(\displaystyle{ z=0 \Rightarrow F(x,y,0)=x^{2}+y^{2}}\)

Ale nie wiem skąd dwa różne rozwiązania i czy gdzieś nie popełniłem błędu. Mógłby Pan napisać i skomentować to? Czy jeśli tu pojawiły się dwie zmienne w obu funkcjach w rozwiązaniu ogólnym to nie można w ten sposób zrobić podstawienia?

Błąd jest tu.

Gregory99 pisze: 6 sty 2024, o 01:52 Przyjmę \(\displaystyle{ \clubsuit=\frac{y}{x},\spadesuit=\frac{-xy}{2} stąd: F(\clubsuit,\spadesuit)=(\frac{y}{\clubsuit})^{2}+(\frac{-2\spadesuit}{x})^{2}}\)
Stąd: \(\displaystyle{ F(\frac{y}{x},\frac{-xy}{2})=(\frac{y}{\frac{y}{x}})^{2}+(\frac{-2*\frac{xy}{2}}{x})^{2}}\)

Te dwa wynikania (stąd) są źle. Pierwsze da się jako tako uratować ale mam wrażanie, że tylko zaciemnię przekaz jak będę je ratować mówiąc, że faktycznie

\(\displaystyle{ F(\clubsuit,\spadesuit)=\left( \frac{y}{\clubsuit}\right) ^{2}+\left( \frac{-2\spadesuit}{x}\right) ^{2}}\)

jednak \(\displaystyle{ x=x(\clubsuit,\spadesuit)}\) oraz \(\displaystyle{ y=y(\clubsuit,\spadesuit)}\) są funkcjami nowych zmiennych. Błąd jaki robisz można porównać do liczenia całki podstawieniem ale nie zmienienia wszystkich zmiennych:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^x \sin x \cos x \, \dd x = \int_{}^{} e^x z \, \dd z }\)

taki napis ma sens ale trzeba pamietać, że \(\displaystyle{ x}\) po prawej to jest funkcja \(\displaystyle{ z}\). Tak samo tu. Zatem aby w ogóle nie wplątać się w tarapaty najlepiej rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ \clubsuit=\frac{y}{x},\spadesuit=\frac{-xy}{2} }\). Mnożąc równania dostaniemy jedynie wyrażanej na zmienną \(\displaystyle{ y}\). I dalej łatwo już wyliczyć \(\displaystyle{ x}\). Dopiero to podstawimy.

Janusz Tracz pisze: 6 sty 2024, o 13:37 Zatem aby w ogóle nie wplątać się w tarapaty najlepiej rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ \clubsuit=\frac{y}{x},\spadesuit=\frac{-xy}{2} }\). Mnożąc równania dostaniemy jedynie wyrażanej na zmienną \(\displaystyle{ y}\). I dalej łatwo już wyliczyć \(\displaystyle{ x}\). Dopiero to podstawimy.

Nie rozumiem co mam wyliczyć (jaki układ równań) i jak podstawić?

Tzn. z tego co Pan piszę to rozumiem, że y'ka mogę podstawić w ten sposób \(\displaystyle{ x'y'=\frac{y}{x} \cdot \frac{-xy}{2}=\frac{-y^{2}}{2} \Rightarrow -2x'y'=y^{2}}\) Ale teraz niestety nie wiem jak zastąpić x korzystając tylko z tych dwóch podstawień. I właśnie nie bardzo rozumiem o jaki dokładnie układ równań Panu chodzi.

Ale chyba już całkowicie się pogubiłem, bo dla takiego podstawienia za \(\displaystyle{ y^{2}=-2x'y' \Rightarrow =-2 \cdot \left( \frac{y}{x}\right) \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) = \frac{-2zy+xy^{2}}{x}'}\) wracając do x,y,z nie otrzyma się żadnego z dwóch składników, które przytoczyłem we wcześniejszym poście przy prawidłowym rozwiązaniu szczególnym. Czekam na dalsze wskazówki.

Dodano po 1 godzinie 12 minutach 21 sekundach:
Niestety nie mogę już edytować posta, mam nadzieję, że nie będzie problemu z dodaniem kolejnego.

Pomyślałem o układzie równań w stylu.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \clubsuit=\frac{y}{x} \\ \spadesuit=-\frac{xy}{2} \Rightarrow y=-\frac{2\spadesuit}{x} \end{cases} }\)

Wstawiając do (1) za y: \(\displaystyle{ \clubsuit = -\frac{2 \spadesuit}{x^{2}} \Rightarrow x^{2}=-\frac{2 \spadesuit}{\clubsuit}}\)

A więc mając to i fakt z poprzedniego, że: \(\displaystyle{ y^{2}=-2\clubsuit \spadesuit}\)

Chciałbym zapisać \(\displaystyle{ F(\clubsuit,\spadesuit)=-\frac{2 \spadesuit}{\clubsuit} + -2\clubsuit \spadesuit }\)

Co dla rozwinięcia x,y,z dałoby:

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=\left( -2 \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) \cdot \frac{x}{y}\right)+\left( -2 \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) \cdot \frac{y}{x} \right)=x^{2}-\frac{2zx}{y}-\frac{2zy}{x}+y^{2} }\)
Wolfram ->

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28-2%29*%28z-%28xy%2F2%29%29*%28x%2Fy%29%2B%28-2%29*%28z-%28xy%2F2%29%29*%28y%2Fx%29

Co chyba zgadza się z rozwiązaniem \(\displaystyle{ \left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right) \cdot \left( -2z+xy\right)=x^{2}-\frac{2zx}{y}-\frac{2zy}{x}+y^{2}}\)
Wolfram ->

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28%28y%2Fx%29%2B%28x%2Fy%29%29*%28-2z%2Bxy%29

Ale zastanawia mnie z jakiej metody podstawiania korzystała osoba, że otrzymała iloczyn dwóch nawiasów? I trochę martwi mnie fakt, że w sumie do podstawienia za \(\displaystyle{ x^{2}=-\frac{2 \spadesuit}{\clubsuit}}\) doszedł po rozwiązaniu układu równań, a do podstawienia za \(\displaystyle{ y^{2}=-2 \spadesuit \clubsuit}\) z przypadkowego wpadnięcia na mnożenie dwóch podstawień i potem zauważyłem, że jest \(\displaystyle{ y^{2}}\) w równaniu i wystarczy współczynniki zmienić żeby został sam \(\displaystyle{ y^{2}}\).

Czy zna Pan może sposób z krokami po kolei, żeby zawsze dojść do wyniku, do odpowiednich podstawień co należy pierwsze zrobić? Bo nie rozumiem czy żeby rozwiązać układ równań to muszę skorzystać z równania, że \(\displaystyle{ \spadesuit=\clubsuit}\) Czy z jednego wyznaczyć np. x i podstawić do drugiego.

Lub może jest jakaś inna opcja żeby właśnie otrzymać jak ta osoba, iloczyn nawiasów?

PS: W pierwszy poście Pan pisał:

Janusz Tracz pisze: 5 sty 2024, o 20:07 A ponieważ \(\displaystyle{ u(x,y,z)}\) ma dodatkowo spełniać warunek \(\displaystyle{ u(1,y,z)=yz}\) jest to tak naprawdę warunek na funkcję \(\displaystyle{ F}\) (lub potencjalnie na całą klasę takich funkcji).

Stąd pytanie czy dla tego typu warunków, zawsze otrzymuje się dokładnie jedno to samo rozwiązanie szczególne, bo pisał Pan o "całej klasie funkcji".

Gregory99 pisze: 6 sty 2024, o 19:22 Nie rozumiem co mam wyliczyć (jaki układ równań) i jak podstawić?

Na to pytanie sam sobie odpowiedziałeś.

Gregory99 pisze: 6 sty 2024, o 19:22 Chciałbym zapisać \(\displaystyle{ F(\clubsuit,\spadesuit)=-\frac{2 \spadesuit}{\clubsuit} + -2\clubsuit \spadesuit }\)

Co dla rozwinięcia x,y,z dałoby:

\(\displaystyle{ F(x,y,z)=\left( -2 \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) \cdot \frac{x}{y}\right)+\left( -2 \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) \cdot \frac{y}{x} \right)=x^{2}-\frac{2zx}{y}-\frac{2zy}{x}+y^{2} }\)

No i o to chodziło. Tylko zamiast \(\displaystyle{ F(x,y,z)}\) powinno być \(\displaystyle{ F(y/z, z-xy/2)}\)

Gregory99 pisze: 6 sty 2024, o 19:22 Ale zastanawia mnie z jakiej metody podstawiania korzystała osoba, że otrzymała iloczyn dwóch nawiasów? I trochę martwi mnie fakt, że w sumie do podstawienia za \(\displaystyle{ x^{2}=-\frac{2 \spadesuit}{\clubsuit}}\) doszedł po rozwiązaniu układu równań, a do podstawienia za \(\displaystyle{ y^{2}=-2 \spadesuit \clubsuit}\) z przypadkowego wpadnięcia na mnożenie dwóch podstawień i potem zauważyłem, że jest \(\displaystyle{ y^{2}}\) w równaniu i wystarczy współczynniki zmienić żeby został sam \(\displaystyle{ y^{2}}\).

Otrzymanie wyniku w postaci iloczyny nawiasów nie jest zaskakujące, gdy się uważnie przyjrzy napisowi

\(\displaystyle{ \left( -2 \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) \cdot \frac{x}{y}\right)+\left( -2 \cdot \left( z-\frac{xy}{2}\right) \cdot \frac{y}{x} \right)}\)

I zamiast wymnażać wyciągnie się wspólny czynnik. Co do rozwiązywania układu poprzez mnożenie równań to nie powiem nic mądrego. To są równania nieliniowe. Nie ma ogólnych metod ich rozwiązywania. Czasem trzeba coś zauważyć. A sztuczki z mnożeniem/dzieleniem itp. równań są relatywnie standardowe.

Gregory99 pisze: 6 sty 2024, o 19:22 Czy zna Pan może sposób z krokami po kolei, żeby zawsze dojść do wyniku, do odpowiednich podstawień co należy pierwsze zrobić? Bo nie rozumiem czy żeby rozwiązać układ równań to muszę skorzystać z równania, że \(\displaystyle{ \spadesuit=\clubsuit}\) Czy z jednego wyznaczyć np. x i podstawić do drugiego.

Lub może jest jakaś inna opcja żeby właśnie otrzymać jak ta osoba, iloczyn nawiasów?

Ogólnych metod nie ma. Jednak przykłady które daje się studentom są zwykle odpowiednio dobrane aby nie trzeba było wielkich sztuczek. Równanie \(\displaystyle{ \spadesuit=\clubsuit}\) nie ma sensu i nie wiem skąd ta myśl. Co do wyciągania \(\displaystyle{ x}\) z jednego równania i podstawiania dalej to tak... o ile się da. Jest to jakiś pomysł (ale nie dale gwarancji - bo w nieliniowych równaniach jej nie ma). Najogólniej jak się da opisałem to wcześniej poprzez wyznaczanie funkcji odwrotnych. A co do iloczynu to już się wypowiedziałem. Po prostu pogrupuj wyrazy podobne.

Gregory99 pisze: 6 sty 2024, o 19:22 PS: W pierwszy poście Pan pisał:
Janusz Tracz pisze: 5 sty 2024, o 20:07 A ponieważ \(\displaystyle{ u(x,y,z)}\) ma dodatkowo spełniać warunek \(\displaystyle{ u(1,y,z)=yz}\) jest to tak naprawdę warunek na funkcję \(\displaystyle{ F}\) (lub potencjalnie na całą klasę takich funkcji).
Stąd pytanie czy dla tego typu warunków, zawsze otrzymuje się dokładnie jedno to samo rozwiązanie szczególne, bo pisał Pan o "całej klasie funkcji".

Nie wiem co oznacza "ten typ warunków". Tu akurat było jedno. Gdyby warunki były słabsze może więcej funkcji \(\displaystyle{ F}\) by się załapało. Każda sytuacja wymaga osobnej analizy.

Janusz Tracz pisze: 6 sty 2024, o 22:39 Nie wiem co oznacza "ten typ warunków". Tu akurat było jedno. Gdyby warunki były słabsze może więcej funkcji \(\displaystyle{ F}\) by się załapało. Każda sytuacja wymaga osobnej analizy.

Odpowiem tak, jeden warunek, jedna ze zmiennych (x,y,z) zerowana lub podana jako stała wartość. Czy dla tego typu równań rozwiązanie szczególne istnieje tylko jedno, czy może być sytuacja, że kilka różnych?

Miałby Pan może jakieś materiały na temat wyznaczania funkcji odwrotnych?

PS:
Już wiem, że ta osoba, która otrzymała iloczyn nawiasów rozwiązywała te równanie różniczkowe metodą charakterystyk, ja podobno metodą "Lagrange-Charpit", jutro będę miał kolejne pytanie z tym związane.

Matematyka.pl

Równanie różniczkowe cząstkowe u(x,y,z) jak wstawić warunek do rozwiązania ogólnego?

Równanie różniczkowe cząstkowe u(x,y,z) jak wstawić warunek do rozwiązania ogólnego?

Re: Równanie różniczkowe cząstkowe u(x,y,z) jak wstawić warunek do rozwiązania ogólnego?

Re: Równanie różniczkowe cząstkowe u(x,y,z) jak wstawić warunek do rozwiązania ogólnego?

Re: Równanie różniczkowe cząstkowe u(x,y,z) jak wstawić warunek do rozwiązania ogólnego?

Re: Równanie różniczkowe cząstkowe u(x,y,z) jak wstawić warunek do rozwiązania ogólnego?

Re: Równanie różniczkowe cząstkowe u(x,y,z) jak wstawić warunek do rozwiązania ogólnego?

Re: Równanie różniczkowe cząstkowe u(x,y,z) jak wstawić warunek do rozwiązania ogólnego?