Matematyka.pl

Mam zbadać zwartość zbioru \(\displaystyle{ [0,1]^2}\) w metryce euklidesowej, rzece, kolejowej i maksimum.

Zbiór jest zwarty kiedy jest domknięty i ograniczony. Z domknietoscia nie mam problemu, nie wiem jedynie jak zbadać ogarniczonosc tego zbioru?

k072394l pisze: 3 sty 2024, o 17:13Zbiór jest zwarty kiedy jest domknięty i ograniczony.

A skąd ten pomysł?!

Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony, ale nie jest prawdą, że każdy domknięty ograniczony podzbiór jest zwarty.

JK

Podzbiór nieskończony zbioru np. R w metryce dyskretnej

Dla mnie zwartość w przestrzeniach topologicznych to namiastka ograniczoności (ale niekoniecznie już w metrycznych) ...może się ktoś z tym nie zgadzać...
Można by zaryzykować taką myśl: " w przestrzeni topologicznej zbiór jest ograniczony, jeżeli jego domknięcie jest zwarte" - bingo...

Jaki wymiar ma zbiór R w metryce dyskretnej...?

Jan Kraszewski pisze: 3 sty 2024, o 17:19

k072394l pisze: 3 sty 2024, o 17:13Zbiór jest zwarty kiedy jest domknięty i ograniczony.

A skąd ten pomysł?!

Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony, ale nie jest prawdą, że każdy domknięty ograniczony podzbiór jest zwarty.

JK

To w jaki sposób mam zbadać zwartość tego zbioru?

Euklidesowa - to zależy, czego możesz korzystać, by pokazać, że ten zbiór jest zwarty.
Maksimum - generuje tę samą topologię, co euklidesowa.
Kolejowa, rzeka - zastanów się, czy każdy ciąg ma podciąg zbieżny.

JK