Strona 1 z 1
Ograniczenie logarytmu
: 2 sty 2024, o 11:08
autor: mol_ksiazkowy
Udowodnić (z twierdzenia Lagrange'a i bez), że:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} < \ln(x+1) < x }\) dla
\(\displaystyle{ x>0}\).
Re: Ograniczenie logarytmu
: 3 sty 2024, o 14:10
autor: a4karo
Oczywiście tw. Lagrange'a zastosowane do funkcji `\log(1+x)` w przedziale `[1,x]` daje natychmiast żądany wynik.
Inny prosty dowód może wyglądac tak:
Dla `x>0` i `0<t<1` zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x}<\frac{1}{1+tx}<1}\)
Całkujemy obie strony po `t` w przedziale `[0,1]` i dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x}<\int_0^1 \frac{1}{1+tx} dt=\frac{\log(1+x)}{x}<1}\)
i już
Nawiasem mówiąc funkcja
\(\displaystyle{ h(t)=\frac{1}{1+tx}}\) jest wypukła, więc nierównośc Hermite-Hadamarda daje lepsze oszacowanie
\(\displaystyle{ \frac{2}{2+x}<\frac{\log(1+x)}{x}<\frac{2+x}{2+2x}}\)
Re: Ograniczenie logarytmu
: 3 sty 2024, o 14:23
autor: Dasio11
a4karo pisze: ↑3 sty 2024, o 14:10Oczywiście tw. Lagrange'a zastosowane do funkcji `\log(1+x)` w przedziale `[1,x]` daje natychmiast żądany wynik.
Raczej
\(\displaystyle{ [0, x]}\) ?
Re: Ograniczenie logarytmu
: 3 sty 2024, o 14:24
autor: a4karo
Jasne
Dodano po 27 minutach 27 sekundach:
Można też prostym różniczkowaniem pokazać, że funkcje `x-\log(1+x)` oraz `\log(1+x)-\frac{x}{1+x}` są rosnące