Matematyka.pl

Rozpad uranu \(\displaystyle{ U^{238}_{92}}\) na ołów \(\displaystyle{ Pb^{206}_{82}}\). Ile było przy tym rozpadów \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta }\)

Rozpadów \(\displaystyle{ \alpha}\) było \(\displaystyle{ \ \ \frac{238-206}{4} \ \ }\), a rozpadów \(\displaystyle{ \beta }\) było \(\displaystyle{ \ \ 82-(92-2 \cdot \frac{238-206}{4}) \ \ }\)

Może dokładniej - nie z gotowego wzoru z podręcznika fizyki czy chemii fizycznej.

Pytanie jest prostym problemem matematycznym. Po pierwsze, musimy rozważyć, co każdy rozpad robi z liczbą masową i liczbą protonów izotopu.

Rozpad \(\displaystyle{ \alpha}\) emituje jądro helu, a więc zmniejsza liczbę masową o \(\displaystyle{ 4 }\) i liczbę protonów o \(\displaystyle{ 2.}\)

Rozpad \(\displaystyle{ \beta }\) zamienia proton w elektron i zwiększa liczbę protonów o \(\displaystyle{ 1,}\) pozostawiając liczbę masową bez zmian.

Korzystając z tych informacji, możemy obliczyć, że aby zmniejszyć liczbę masowąz \(\displaystyle{ 238 }\) do \(\displaystyle{ 206 }\), musimy użyć rozpadu \(\displaystyle{ \alpha,}\) ponieważ rozpad \(\displaystyle{ \beta }\) nie wpływa na liczbę protonów.

Potrzebnych jest zatem \(\displaystyle{ 8 }\) rozpadów \(\displaystyle{ \alpha,}\) co zmniejszy liczbę masową do wymaganych 206, ale pozostawi liczbę protonów (liczbę atomową) na poziomie \(\displaystyle{ 76.}\)

Aby zwiększyć liczbę atomową ołowiu do wymaganych \(\displaystyle{ 82,}\) potrzeba zatem \(\displaystyle{ 6 }\) rozpadów \(\displaystyle{ \beta.}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ 8 }\) rozpadów \(\displaystyle{ \alpha }\) i \(\displaystyle{ 6 }\) rozpadów \(\displaystyle{ \beta.}\)

\(\displaystyle{ ^{238} _{92}U \rightarrow ^{206} _{82}Pb +x^{4} _{2} \alpha +y^{0}_{-1} \beta }\)

\(\displaystyle{ 238=206+4x}\)

\(\displaystyle{ 92=82+2x-y}\)

\(\displaystyle{ x=8 \wedge y=6}\)