Walce
: 1 sty 2024, o 14:22
Obliczyć objętość bryły będącej przecięciem dwóch walców o promieniu \(\displaystyle{ r > 0}\) i osiach zawartych w dwóch osiach współrzędnych w \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Ukryta treść:
To bardzo ładne zadanie na zastosowane reguły Cavallieri.
Jeżeli osie walców ułożymy na płaszczyźnie `z=0` to przekrój naszej bryły na poziomie `x=\pm h` jest kwadratem o boku `2\sqrt{r^2-h^2}`, a więc o polu `4(r^2-h^2)`.
Jeżeli weżmiemy sześcian o boku `2r` i wytniemy z niego dwa ostrosłupy o podstawach na przeciwległych ścianach i wierzchołkach w środky sześcianu, to ich pola przekrojów płąszczyznami prostopadłymi do wysokości tych ostrosłupów są takie same.
Objętość przekroju walców jest zatem taka sama jak objętość "wydłubanego" sześcianu, czyli `16r^3/3`