WITAM!
Robiac calke doszedlem do takiego czegos:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sin^4x}}\)
Co z tym zrobic?? Z gory dziex za pomoc. POZDRO
Calka nieoznaczona z sin w mianowniku
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Calka nieoznaczona z sin w mianowniku
\(\displaystyle{ \int\frac1{\sin^2x}dx=\int\frac1{\sin^3x}\sin xdx=\\
=\frac{-\cos x}{\sin^3x}-\int\frac{-3\cos x}{\sin^4x}(-\cos x)dx=\\
=-\frac{\cos x}{\sin^3x}-3\int\frac{1-\sin^2 x}{\sin^4x}dx=\\
=-\frac{\cos x}{\sin^3x}+3\int\frac1{\sin^2x}dx-3\int\frac1{\sin^4x}dx}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \int\frac1{\sin^4x}dx=-\frac{\cos x}{3\sin^3x}+\frac23\int\frac1{\sin^2x}dx=\\
=-\frac{\cos x}{3\sin^3x}-\frac23\text{ctg }x}\)
=\frac{-\cos x}{\sin^3x}-\int\frac{-3\cos x}{\sin^4x}(-\cos x)dx=\\
=-\frac{\cos x}{\sin^3x}-3\int\frac{1-\sin^2 x}{\sin^4x}dx=\\
=-\frac{\cos x}{\sin^3x}+3\int\frac1{\sin^2x}dx-3\int\frac1{\sin^4x}dx}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \int\frac1{\sin^4x}dx=-\frac{\cos x}{3\sin^3x}+\frac23\int\frac1{\sin^2x}dx=\\
=-\frac{\cos x}{3\sin^3x}-\frac23\text{ctg }x}\)