Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ 10^{15}+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7, 11 }\) i \(\displaystyle{ 13}\).

\(\displaystyle{ 10^1 : 7}\) daje resztę \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ 10^2 : 7}\) da resztę \(\displaystyle{ 3^2 \mod 7 = 2}\)
\(\displaystyle{ 10^3 : 7}\) ma resztę \(\displaystyle{ 3^3 \mod 7 = 6}\)
\(\displaystyle{ 3^4 \mod 7 = 4}\)
\(\displaystyle{ 3^5 \mod 7 = 5}\)
\(\displaystyle{ 3^6 \mod 7 =1}\)
\(\displaystyle{ 3^7 \mod 7 = 3^1 \mod 7 = 3}\)

skoro więc cykl idzie co 6 potęg, to
\(\displaystyle{ 10^{15} \mod 7 = 10^3 \mod 7 = 6\\
10^{15} + 1 \mod 7 = 0}\)

Dla podzielności przez 11 patrzymy na różnicę sum nieparzystych i parzystych cyfr
\(\displaystyle{ 1 - 0 + 0 - 0 \ldots -1 = 1-1 = 0}\)

Dla podzielności przez \(\displaystyle{ 13}\) robimy tak samo jak z \(\displaystyle{ 7}\)
Reszty z dzielenia kolejnych potęg 10 przez 13 to kolejno: \(\displaystyle{ 10,9,12,3,4,1,10,9\ldots}\)
Tu też cykl jest co 6, więc analogicznie
\(\displaystyle{ 10^{15} \mod 13 = 10^3 \mod 13 = 12\\
10^{15} + 1 \mod 13 = 0}\)

Alternatywnie: Ze wzoru na sumę piątych potęg: \( 10^{15}+1^{15} = (10^3)^5+(1^3)^5 = (10^3+1^3)(...) = 1001(...) = 7\cdot11\cdot13(...)\).