Podwojenie sześcianu przy pomocy prostokątnego krzyża
: 22 gru 2023, o 23:00
Dzisiaj zrozumiałem dobrze, że przy pomocy prostokątnego krzyża oraz przy pomocy dwóch linijek można skonstruować bok sześcianu mającego dwukrotnie większą objętość niż objętość danego sześcianu. Chciałbym podzielić się tą ciekawą konstrukcją.
Rozważmy sztywny kąt prosty \(\displaystyle{ MZN}\) i ruchomy krzyż prostokątny o środku w punkcie \(\displaystyle{ B,}\) i ramionach \(\displaystyle{ VW}\) i \(\displaystyle{ PQ.}\) Dodatkowo linijki \(\displaystyle{ RS}\) i \(\displaystyle{ TU}\) mogą przesuwać się prostopadle do ramion tego kąta prostego \(\displaystyle{ MZN}\). Przypuśćmy, że dany sześcian ma bok o długości \(\displaystyle{ a>0}\). Obieramy na krzyżu dwa punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ G}\), takie, że: \(\displaystyle{ \left| GB\right| =a}\) i \(\displaystyle{ \left| BE\right|=f:=2a}\). Umieszczając krzyż w taki sposób, aby punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ G}\) leżały odpowiednio na odcinkach \(\displaystyle{ NZ}\) i \(\displaystyle{ MZ,}\) i przesuwając linijkami możemy ustawić krzyż w taki sposób, że: \(\displaystyle{ U=E}\), a punkty \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą za odpowiednimi punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\)- zobacz poniższą ilustrację: \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Ponieważ w kwadracie kąty pomiędzy bokami są proste, i ramiona krzyża przecinają się również pod kątem prostym, więc trójkąty \(\displaystyle{ ADB}\), \(\displaystyle{ BDE}\) i \(\displaystyle{ ABG}\) mają równe odpowiednie kąty, są więc podobne. A zatem:
\(\displaystyle{ \frac{a}{x}= \frac{x}{y}= \frac{y}{f};}\)
skąd: \(\displaystyle{ x^2=a \cdot y}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{y^2}{f}}\).
A zatem, podstawiając:
\(\displaystyle{ x ^{3}= \frac{ \left( ay\right) \cdot y ^{2} }{f}= \frac{ay^3}{f}= \frac{ay ^{3} }{2a}= \frac{y^3}{2}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x^2= ay}\) i \(\displaystyle{ xf=y^2}\), więc \(\displaystyle{ x^3f= ay ^{3}}\), i ponieważ \(\displaystyle{ f=2a}\), więc \(\displaystyle{ 2x ^{3}= y^3}\), czyli \(\displaystyle{ x^3= y^3/2.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ y= \frac{x^2}{a}}\), więc \(\displaystyle{ x^3= \left( \frac{x^2}{a} \right) ^{3}/2}\), czyli \(\displaystyle{ x ^{3}= \frac{x^6}{2a^3}}\) i \(\displaystyle{ x^3= 2a ^{3}.}\)
Czyli \(\displaystyle{ x}\) jest bokiem sześcianu którego objętość jest równa podwojonej objętości sześcianu o boku \(\displaystyle{ a.\square}\)
\(\displaystyle{ }\)
Dodam tutaj jeszcze dowód wyczytany z tej samej książki (Co to jest matematyka R.Courant i H.Robbins) pokazujący, że liczba \(\displaystyle{ e}\) jest niewymierna.
Rozważmy sztywny kąt prosty \(\displaystyle{ MZN}\) i ruchomy krzyż prostokątny o środku w punkcie \(\displaystyle{ B,}\) i ramionach \(\displaystyle{ VW}\) i \(\displaystyle{ PQ.}\) Dodatkowo linijki \(\displaystyle{ RS}\) i \(\displaystyle{ TU}\) mogą przesuwać się prostopadle do ramion tego kąta prostego \(\displaystyle{ MZN}\). Przypuśćmy, że dany sześcian ma bok o długości \(\displaystyle{ a>0}\). Obieramy na krzyżu dwa punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ G}\), takie, że: \(\displaystyle{ \left| GB\right| =a}\) i \(\displaystyle{ \left| BE\right|=f:=2a}\). Umieszczając krzyż w taki sposób, aby punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ G}\) leżały odpowiednio na odcinkach \(\displaystyle{ NZ}\) i \(\displaystyle{ MZ,}\) i przesuwając linijkami możemy ustawić krzyż w taki sposób, że: \(\displaystyle{ U=E}\), a punkty \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą za odpowiednimi punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\)- zobacz poniższą ilustrację: \(\displaystyle{ \\}\)
Ponieważ w kwadracie kąty pomiędzy bokami są proste, i ramiona krzyża przecinają się również pod kątem prostym, więc trójkąty \(\displaystyle{ ADB}\), \(\displaystyle{ BDE}\) i \(\displaystyle{ ABG}\) mają równe odpowiednie kąty, są więc podobne. A zatem:
\(\displaystyle{ \frac{a}{x}= \frac{x}{y}= \frac{y}{f};}\)
skąd: \(\displaystyle{ x^2=a \cdot y}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{y^2}{f}}\).
A zatem, podstawiając:
\(\displaystyle{ x ^{3}= \frac{ \left( ay\right) \cdot y ^{2} }{f}= \frac{ay^3}{f}= \frac{ay ^{3} }{2a}= \frac{y^3}{2}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x^2= ay}\) i \(\displaystyle{ xf=y^2}\), więc \(\displaystyle{ x^3f= ay ^{3}}\), i ponieważ \(\displaystyle{ f=2a}\), więc \(\displaystyle{ 2x ^{3}= y^3}\), czyli \(\displaystyle{ x^3= y^3/2.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ y= \frac{x^2}{a}}\), więc \(\displaystyle{ x^3= \left( \frac{x^2}{a} \right) ^{3}/2}\), czyli \(\displaystyle{ x ^{3}= \frac{x^6}{2a^3}}\) i \(\displaystyle{ x^3= 2a ^{3}.}\)
Czyli \(\displaystyle{ x}\) jest bokiem sześcianu którego objętość jest równa podwojonej objętości sześcianu o boku \(\displaystyle{ a.\square}\)
\(\displaystyle{ }\)
Dodam tutaj jeszcze dowód wyczytany z tej samej książki (Co to jest matematyka R.Courant i H.Robbins) pokazujący, że liczba \(\displaystyle{ e}\) jest niewymierna.
PROSTY, LECZ DOKŁADNIEJSZY DOWÓD TEGO FAKTU::
