Matematyka.pl

Trzy kulki o masach \(\displaystyle{ 3m, m ,2m}\) wiszą na gumkach (kulka o masie \(\displaystyle{ m}\) jest w środku). Obliczyć przyspieszenia kulek po przecięciu środkowej gumki.

Masy kulek wynoszą odpowiednio : \(\displaystyle{ 3m, \ \ m, \ \ 2m, }\) więc ich ciężary są odpowiednio równe: \(\displaystyle{ 3Q, \ \ Q, \ \ 2Q.}\)

Początkowo. wszystkie kulki wiszące na gumkach spoczywają, więc wypadkowa siła działająca na każdą z nich jest równa zero.

Rozpoczniemy analizę sił działających od kulki najniższej.

Kulka środkowa i kulka najniższa oddziaływują ze sobą za pomocą gumki. Przykładając do siebie siły, zgodnie z trzecią zasadą dynamiki \(\displaystyle{ N_{3} }\) i \(\displaystyle{ -N_{3}.}\)

Warunek równowagi wartości sił działających na kulkę najniższą \(\displaystyle{ N_{3}= 2Q.}\)

Środkowa kulka i górna też oddziaływują na siebie za pomocą gumki.

Przykładając do nich siły zgodnie z trzecią zasadą dynamiki siły: \(\displaystyle{ N_{2} }\) i \(\displaystyle{ -N_{2}. }\)

Warunek równowagi wartości sił działających na kulkę środkową \(\displaystyle{ N_{2} = Q + N_{3} = Q + 2Q = 3Q.}\)

Na kulkę znajdującą się najwyżej działa jeszcze jedna siła jest to siła napięcia gumki górnej \(\displaystyle{ -N_{1}.}\)

Dla wartości sił działających działających na tą kulkę zachodzi warunek: \(\displaystyle{ N_{1} = 3Q + N_{2} = 3Q + 3Q = 6Q.}\)

Przecięto nić pomiędzy kulkami górną i środkową. Co się stało? Zniknęły siły \(\displaystyle{ N_{2} }\) i \(\displaystyle{ -N_{2}. }\)

Pozostałe siły poza \(\displaystyle{ N_{2} }\) i \(\displaystyle{ -N_{2} }\) nie uległy zmianie.

Napiszemy teraz dynamiczne równania ruchu dla każdej z mas.

Zaczynamy od najniższej. Przyśpieszenie tej kulki \(\displaystyle{ 2m\cdot a_{3} = N_{3} - 2Q = 2Q -2Q = 0, }\)

\(\displaystyle{ a_{3} = 0.}\)

Dynamiczne równanie ruchu dla kulki środkowej:

\(\displaystyle{ m\cdot a_{2} = Q + N_{3} = Q + 2Q = 3Q = 3m\cdot g }\)

Dzieląc obie strony równania przez masy otrzymujemy \(\displaystyle{ a_{2} = 3g.}\)

Dynamiczne równanie ruchu dla ostatniej- górnej kulki: \(\displaystyle{ 3m\cdot a_{1} = N_{1} - 3Q = 6Q - 3Q = 3Q = 3m\cdot g.}\)

Dzielimy obie strony równania przez masy: \(\displaystyle{ a_{1} = g.}\) Przyśpieszenie to skierowane jest do góry.

Pomocne zobrazowanie dynamicznego ruchu postępowego układu ciał.

1.Zastosowano metodę wyobrażalnych przecięć( przekrojów).
2.Wyodrębniono ciała w ruchu.
3.Dla każdego ciała z osobna wypisujemy dwa równania:
3.1. Warunek równowagi ciała w spoczynku tj. suma sił czynnych i reakcji działających na ciało musi być równa zeru.(Przyjęto oś odniesienia).
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} F _{y} =0 }\), (1)
3.2. Dynamiczne równanie ruchu postępowego wynikające z III zasady Newtona
\(\displaystyle{ F-m \cdot a=0}\), (2)
\(\displaystyle{ F}\)- suma sił czynnych i reakcji działających na ciało.
\(\displaystyle{ - m \cdot a}\)- wyobrażalna siła bezwładności
4. Z równań (1), i (2) określamy szukane wielkości

Dodano po 2 godzinach 19 minutach 44 sekundach:
Prostuję
3.2. Dynamiczne równanie ruchu postępowego wynikające z II zasady Newtona sprowadzone do statycznego równania równowagi d'Alemberta(1717-1783).

Cześć! Po przecięciu środkowej gumki kulka o masie m przestaje być podtrzymywana, więc zacznie swobodnie spadać z przyspieszeniem g. Kulki po bokach (o masach 3m i 2m) nadal wiszą na swoich gumkach, więc ich przyspieszenia będą zależały od napięcia i odkształcenia gumek, ale na pewno nie będą równe g. Aby dokładnie obliczyć ich przyspieszenia, trzeba rozwiązać układ równań ruchu z uwzględnieniem sił sprężystości gumek i ciężaru kulek.