Od razu symbole
\(\displaystyle{ \bigvee, \bigwedge }\) są dziwaczne...
One są naturalne, bo jeśli
\(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) }\) jest formułą o zakresie
\(\displaystyle{ x \in \left\{ 1,2, \ldots,n\right\}}\), to mamy równoważności:
\(\displaystyle{ \left[\bigwedge\limits_{x \in \left\{ 1,2,3,\ldots,n \right\} } \alpha \left( x\right)\right] \Longleftrightarrow \left[ \alpha \left( 1\right) \wedge \alpha \left( 2\right) \wedge \ldots \wedge \alpha \left( n\right)\right] ;}\) i:
\(\displaystyle{ \left[\bigvee \limits_{x \in \left\{ 1,2,3,\ldots,n \right\} } \alpha \left( x\right)\right] \Longleftrightarrow \left[ \alpha \left( 1\right) \vee \alpha \left( 2\right) \vee\ldots \vee\alpha \left( n\right)\right].}\)
Natomiast dla mnie, pewne 'typowe oznaczenia' są zupełnie nienaturalne, np. sumę szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} a _{n} }\) oznaczać przebrzydłym symbolem
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+ \infty } a _{n}. }\) I teraz zachodzi pytanie: co ma wspólnego
\(\displaystyle{ + \infty }\) z liczbami naturalnymi- jedno do drugiego ma się tak jak kwiatek do kożucha...
Albo: wszyscy matematycy iloczyn kartezjański
\(\displaystyle{ n}\) zbiorów
\(\displaystyle{ X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{n}}\) oznaczają jako:
\(\displaystyle{ X _{1} \times X _{2} \times \ldots \times X _{n}.}\) Dla mnie, jest to, wbrew pozorom, prawie zupełnie nienaturalne- bo taki zapis nie oznacza iloczynu kartezjańskiego
\(\displaystyle{ n}\) zbiorów, lecz taki zapis musi oznaczać wielokrotny binarny iloczyn kartezjański dwóch zbiorów stosowany wielokrotnie( choć, na upartego, to da się to pogodzić- wystarczy kolejne działania wykonywać po kolei, od lewej do prawej, i skorzystać z jednej, odpowiedniej do tej sytuacji, definicji
\(\displaystyle{ n}\)- ki uporządkowanej, przy pomocy zagnieżdżonych par uporządkowanych). Znacznie jest lepiej oznaczyć ten iloczyn kartezjański (bo chodzi tutaj po prostu o zbiór
\(\displaystyle{ n}\)- ek), zbiorów
\(\displaystyle{ X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{n}, }\) więc oznaczam go jako:
\(\displaystyle{ \stackrel{n}{\stackrel{P}{ _{ i=1}} } \left( X _{i} \right) :=\left\{ \left( x _{1}, x _{2},\ldots,x _{n} \right)\Bigl| \ \ x _{1} \in X _{1}, x _{2} \in X _{2},\ldots, x _{n} \in X _{n} \right\}; }\)
czyli naturalnie, traktujemy tą operację jako operację przypisującą
\(\displaystyle{ n}\) zbiorom zbiór
\(\displaystyle{ n}\)-ek, a nie jako wielokrotny binarny iloczyn kartezjański.
Wiem, że oznaczenia są nieistotne, ale tak, jak zaproponowałem, jest dla mnie o wiele naturalniej, używanie zapisów które są dla mnie zupełnie nienaturalne, tylko dlatego, że używa ich większość matematyków, nie bardzo mi się podoba- ja wolę zapis, który ma dla mnie sens.
