Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
: 16 gru 2023, o 05:11
\(\displaystyle{ \phi= \sqrt{2+ \frac{1}{ \sqrt{2+ \frac{1}{ \sqrt{2+...} } } } } }\)
Matematyka.pl
Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki
https://matematyka.pl/
Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
Strona 1 z 1
Re: Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
: 16 gru 2023, o 07:34
Ładny wzorek
Re: Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
: 27 sty 2024, o 07:31
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \phi } = \sqrt{1- \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{1}{ \sqrt{1- \frac{1}{ \sqrt{1+...} } } } } } } }\)
Re: Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
: 27 sty 2024, o 08:10
Też łądny wzorek.
Re: Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
: 27 sty 2024, o 13:18
A jakie jest pytanie?
Re: Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
: 27 sty 2024, o 14:14
Pewnie trzeba obliczyć to \(\displaystyle{ \phi}\)/uprościć.
Jako że obie strony są dodatnie, to podnosimy do kwadratu.
\(\displaystyle{ \phi^{2}=2+ \frac{1}{\phi} }\)
\(\displaystyle{ \phi^{3}-2\phi-1=0}\)
Pytamy się Wolframa, jakie to ma rozwiązania, bo niby widać, że jedno jest \(\displaystyle{ -1}\), ale nie pamiętamy jak dalej podzielić wielomian.
Według Wolframa \(\displaystyle{ \phi=-1}\) lub \(\displaystyle{ \phi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \phi= \frac{1+\sqrt{5}}{2} }\). Bierzemy ostatnie, bo tylko ostatnie jest dodatnie. I wyszła złota proporcja.
Dodano po 19 minutach 39 sekundach:
Głupie pytanie, ale jaki sens ma ten wzór na złotą proporcję, skoro nie pozbywamy się pierwiastka, tylko wręcz dodajemy?
Jako że obie strony są dodatnie, to podnosimy do kwadratu.
\(\displaystyle{ \phi^{2}=2+ \frac{1}{\phi} }\)
\(\displaystyle{ \phi^{3}-2\phi-1=0}\)
Pytamy się Wolframa, jakie to ma rozwiązania, bo niby widać, że jedno jest \(\displaystyle{ -1}\), ale nie pamiętamy jak dalej podzielić wielomian.
Według Wolframa \(\displaystyle{ \phi=-1}\) lub \(\displaystyle{ \phi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \phi= \frac{1+\sqrt{5}}{2} }\). Bierzemy ostatnie, bo tylko ostatnie jest dodatnie. I wyszła złota proporcja.
Dodano po 19 minutach 39 sekundach:
Głupie pytanie, ale jaki sens ma ten wzór na złotą proporcję, skoro nie pozbywamy się pierwiastka, tylko wręcz dodajemy?
Re: Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
: 27 sty 2024, o 17:47
Mamy też inny lepszy (bo prostszy) wzór na złotą proporcję:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}+1 }{2}= 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \ldots}} }.}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}+1 }{2}= 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \ldots}} }.}\)
Re: Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
: 27 sty 2024, o 18:06
Re: Ułamek i pierwiastek łańcuchowy w jednym
: 22 lut 2024, o 05:15
\(\displaystyle{ \delta _{S} = \sqrt{5+ \frac{2}{ \sqrt{5+ \frac{2}{ \sqrt{5+...} } } } } }\)
Dodano po 4 dniach 13 godzinach 45 minutach 8 sekundach:
\(\displaystyle{ 2 \phi = \sqrt{8+ \frac{8}{ \sqrt{8+ \frac{8}{ \sqrt{8+...} } } } } }\)
Dodano po 2 dniach 37 minutach 26 sekundach:
\(\displaystyle{ \frac{2}{ \phi } = \sqrt{4- \frac{8}{ \sqrt{4+ \frac{8}{ \sqrt{4- \frac{8}{ \sqrt{4+...} } } } } } } }\)
Dodano po 26 dniach 9 godzinach 47 minutach 28 sekundach:
\(\displaystyle{ \phi = \sqrt[3]{3+ \frac{2}{ \sqrt[3]{3+ \frac{2}{ \sqrt[3]{3+...} } } } } }\)
\(\displaystyle{ \delta _{S} = \sqrt[3]{12+ \frac{5}{ \sqrt[3]{12+ \frac{5}{ \sqrt[3]{12+...} } } } } }\)
Dodano po 8 godzinach 32 minutach 6 sekundach:
\(\displaystyle{ \phi = \sqrt[n]{F _{n+1}+ \frac{F _{n} }{ \sqrt[n]{F _{n+1}+ \frac{F _{n} }{ \sqrt[n]{F _{n+1} +...} } } } } }\)
\(\displaystyle{ F _{n} \hbox { - n-ta liczba Fibonacciego} }\)
\(\displaystyle{ \delta _{S} = \sqrt[n]{P _{n+1}+ \frac{P _{n} }{ \sqrt[n]{P _{n+1}+ \frac{P _{n} }{ \sqrt[n]{P _{n+1} +...} } } } } }\)
\(\displaystyle{ P _{n} \hbox { - n-ta liczba Pella} }\)
Dodano po 4 dniach 13 godzinach 45 minutach 8 sekundach:
\(\displaystyle{ 2 \phi = \sqrt{8+ \frac{8}{ \sqrt{8+ \frac{8}{ \sqrt{8+...} } } } } }\)
Dodano po 2 dniach 37 minutach 26 sekundach:
\(\displaystyle{ \frac{2}{ \phi } = \sqrt{4- \frac{8}{ \sqrt{4+ \frac{8}{ \sqrt{4- \frac{8}{ \sqrt{4+...} } } } } } } }\)
Dodano po 26 dniach 9 godzinach 47 minutach 28 sekundach:
\(\displaystyle{ \phi = \sqrt[3]{3+ \frac{2}{ \sqrt[3]{3+ \frac{2}{ \sqrt[3]{3+...} } } } } }\)
\(\displaystyle{ \delta _{S} = \sqrt[3]{12+ \frac{5}{ \sqrt[3]{12+ \frac{5}{ \sqrt[3]{12+...} } } } } }\)
Dodano po 8 godzinach 32 minutach 6 sekundach:
\(\displaystyle{ \phi = \sqrt[n]{F _{n+1}+ \frac{F _{n} }{ \sqrt[n]{F _{n+1}+ \frac{F _{n} }{ \sqrt[n]{F _{n+1} +...} } } } } }\)
\(\displaystyle{ F _{n} \hbox { - n-ta liczba Fibonacciego} }\)
\(\displaystyle{ \delta _{S} = \sqrt[n]{P _{n+1}+ \frac{P _{n} }{ \sqrt[n]{P _{n+1}+ \frac{P _{n} }{ \sqrt[n]{P _{n+1} +...} } } } } }\)
\(\displaystyle{ P _{n} \hbox { - n-ta liczba Pella} }\)