Funkcjonały
: 14 gru 2023, o 23:55
W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \RR ^{2,2} }\) dane są macierze:
\(\displaystyle{ A _{1} = \left[ \begin{matrix}1 & 1\\1 & 0 \end{matrix}\right] }\), \(\displaystyle{ A _{2} = \left[ \begin{matrix}0 & 1\\0 & 1 \end{matrix}\right] }\), \(\displaystyle{ A _{3} = \left[ \begin{matrix}1 & 1\\0 & 0 \end{matrix}\right] }\), \(\displaystyle{ A _{4} = \left[ \begin{matrix}1 & 0\\1 & 1 \end{matrix}\right] }\)
Układ funkcjonałów \(\displaystyle{ g _{1} ^{*}, g _{2} ^{*}, g _{3} ^{*}, g _{4} ^{*} \in (\RR ^{2,2}) ^{*} }\) jest bazą dualną do bazy \(\displaystyle{ (A _{1}, A _{2}, A _{3} , A _{4} )}\). Funkcjonał \(\displaystyle{ f ^{*}\in (\RR ^{2,2}) ^{*} }\) jest dany wzorem:
\(\displaystyle{ f ^{*}(\left[ \begin{matrix}a _{1,1} & a _{1,2} \\a _{2,1} & a _{2,2} \end{matrix}\right]) = a _{1,1} + a _{1,2} + a _{2,1} + a _{2,2} }\).
Wyznacz liczby \(\displaystyle{ \beta _{1}, \beta _{2}, \beta _{3}, \beta _{4} \in \RR }\), takie że \(\displaystyle{ f ^{*} = \beta _{1}g _{1} ^{*} + \beta _{2}g _{2} ^{*} + \beta _{3}g _{3} ^{*} + \beta _{4}g _{4} ^{*} }\)
\(\displaystyle{ A _{1} = \left[ \begin{matrix}1 & 1\\1 & 0 \end{matrix}\right] }\), \(\displaystyle{ A _{2} = \left[ \begin{matrix}0 & 1\\0 & 1 \end{matrix}\right] }\), \(\displaystyle{ A _{3} = \left[ \begin{matrix}1 & 1\\0 & 0 \end{matrix}\right] }\), \(\displaystyle{ A _{4} = \left[ \begin{matrix}1 & 0\\1 & 1 \end{matrix}\right] }\)
Układ funkcjonałów \(\displaystyle{ g _{1} ^{*}, g _{2} ^{*}, g _{3} ^{*}, g _{4} ^{*} \in (\RR ^{2,2}) ^{*} }\) jest bazą dualną do bazy \(\displaystyle{ (A _{1}, A _{2}, A _{3} , A _{4} )}\). Funkcjonał \(\displaystyle{ f ^{*}\in (\RR ^{2,2}) ^{*} }\) jest dany wzorem:
\(\displaystyle{ f ^{*}(\left[ \begin{matrix}a _{1,1} & a _{1,2} \\a _{2,1} & a _{2,2} \end{matrix}\right]) = a _{1,1} + a _{1,2} + a _{2,1} + a _{2,2} }\).
Wyznacz liczby \(\displaystyle{ \beta _{1}, \beta _{2}, \beta _{3}, \beta _{4} \in \RR }\), takie że \(\displaystyle{ f ^{*} = \beta _{1}g _{1} ^{*} + \beta _{2}g _{2} ^{*} + \beta _{3}g _{3} ^{*} + \beta _{4}g _{4} ^{*} }\)