Matematyka.pl

Jakie wartości może mieć granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x^2)}{f(x)}}\) gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą na \(\displaystyle{ [0,1)}\) i która ma wartości dodatnie na \(\displaystyle{ (0,1) }\)

Niech `\alpha` dowolną liczbą dodatnią a`f:(1/4,1)\to\RR^+` dowolną funkcja ciągłą taką, że `f(1/2)=1` i `\lim _{x\downarrow 1/4}f(x)=\alpha`
Rozszerzymy ją do funkcji określonej na `(0,1)` konstruując ją indukcyjnie.
Przypuśćmy, że znamy wartość funkcji na przedziale `(2^{-2^{k+1}}, 2^{-2^k}]`. Na przedziale `(2^{-2^{k+2}},\2^{-2^{k+1}}]` określimy ją wzorem `f(x)=\alpha f(\sqrt{x})`.
Tak określona funkcja jest ciągła na `(0,1)` (wynika to z faktu, że `f(2^{-2^k})=\alpha^k`) i dla `x\in(0,1/2)` spełnia równanie funkcyjne `f(x^2)=\alpha f(x)`.
Stąd
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\frac{f(x^2)}{f(x)}=\alpha}\)
funkcje `f(x)=x` i `f(x)=1/x` pokazują, że granicą może być też zero lub nieskończoność.

Oczywiście skonstruowanie funkcji dla której ta granica nie istnieje jest nieskomplikowane.

Twoja konstrukcja nie gwarantuje ciągłości w zerze.

Rozważmy dowolną liczbę \(\displaystyle{ q \in \RR}\). Jeśli uda się wskazać funkcję ciągłą \(\displaystyle{ g : (0, \infty) \to (0, \infty)}\) mającą granicę w nieskończoności i taką, że

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \frac{g(2t)}{g(t)} = q}\),

to wówczas funkcja \(\displaystyle{ f(x) = g(- \ln x)}\) określona na \(\displaystyle{ (0, 1)}\) daje się przedłużyć na \(\displaystyle{ [0, 1)}\) w sposób ciągły, a ponadto poprzez podstawienie \(\displaystyle{ t = -\ln x}\) mamy

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x^2)}{f(x)} = \lim_{t \to \infty} \frac{g(2t)}{g(t)} = q}\).

Wskażemy takie funkcje dla \(\displaystyle{ q \in [0, 1]}\): dla dowolnego \(\displaystyle{ p < 0}\) funkcja \(\displaystyle{ g(t) = t^p}\) pokazuje, że granicą może być \(\displaystyle{ q = 2^p}\), tj. dowolna liczba z przedziału \(\displaystyle{ (0, 1)}\). Granicę równą zero osiąga funkcja \(\displaystyle{ g(t) = e^{-t}}\), a równą jeden - funkcja \(\displaystyle{ g(t) = \frac{1}{\ln(t+1)}}\).

Inne wartości są niemożliwe, bo zepsułoby to ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f}\) w zerze.

Faktycznie, pominąłem ten warunek, więc przykłąd `1/x` jest nieadekwatny.

Moja konstrukcja jest poprawna dla `0<\alpha<1`. Dowolna funkcja, która ma niezerową granicę w zerze jest przykładem, że tą granicą możę być tez jedynka.

To, że liczba większ od `1` nie może być granicą prosto wynika z dwóch faktów:
1. Jeżeli granica ilorazu jest niezerowa, to granicą funkcji musi być zero
2. dla pewnych `x` musiałoby zachodzić `f(x)<f(x^2)<f(x^4)<...`

i \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{ (\ln( \frac{1}{x} ))^k} }\) (poza zerem).