Funkcje ciągłe- prosty dowód twierdzenia Weierstrassa
: 13 gru 2023, o 00:59
Wpadłem dzisiaj na pomysł na prosty dowód twierdzenia Weierstrassa. Przedstawię teraz ten prosty dowód.
Przypomnijmy, twierdzenie Weierstrassa mówi, że jeśli \(\displaystyle{ B:=\left[ a,b\right] \subset \RR }\) jest przedziałem, i \(\displaystyle{ a \le b}\), a \(\displaystyle{ f:B=\left[ a,b\right] \rightarrow \RR }\) jest funkcją ciągłą, to funkcja ta osiąga wartość największą(globalną), i funkcja ta osiąga wartość najmniejszą(globalną).
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Dzielimy przedział \(\displaystyle{ B}\) na dwie równe części \(\displaystyle{ B'}\) i \(\displaystyle{ B'',}\) i bierzemy półprzedział \(\displaystyle{ B'}\) za przedział, w którym będziemy szukać wartości największej tej funkcji, gdy dla środka \(\displaystyle{ x _{0} }\) tego całego przedziału \(\displaystyle{ B}\) wartość \(\displaystyle{ f \left( x _{0}\right) }\) jest silnie mniejsza od pewnej wartości \(\displaystyle{ f\left( x\right),}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in B';}\) jeśli zaś wartość \(\displaystyle{ f\left( x _{0} \right) }\) jest większa lub równa od każdej wartości \(\displaystyle{ f\left( x\right), }\) gdzie \(\displaystyle{ x \in B',}\) to rozważamy przedział \(\displaystyle{ B''.}\) Niech \(\displaystyle{ B _{1} }\) będzie wybranym takim podprzedziałem. Przedział \(\displaystyle{ B _{1} }\) podobnie dzielimy na połowy, i podobnie jak dla przedziału \(\displaystyle{ B}\), w podobny sposób otrzymujemy tutaj jeszcze mniejszy podprzedział \(\displaystyle{ B _{2}. }\) Postępując w ten sposób otrzymujemy ciąg malejących, pod względem inkluzji, przedziałów \(\displaystyle{ \left( B _{1}, B _{2}, B _{3}, \ldots \right). }\) Ponieważ długości tych przedziałów dążą do \(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}=0, }\) to istnieje punkt prostej wspólny dla tych wszystkich przedziałów, nazwijmy go \(\displaystyle{ a \in B.}\) Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to w szczególności jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ a.}\) A zatem istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ x\to a } f \left( x\right) =f \left( a\right) \in \RR.}\) Ze sposobu konstrukcji liczby \(\displaystyle{ a}\) wynika, że ta granica jest większa lub równa od każdej wartości \(\displaystyle{ f\left( x\right), }\) gdzie \(\displaystyle{ x \in B,}\) więc \(\displaystyle{ f\left( a\right) = \lim_{x \to a} f\left( x\right) }\) jest wartością największą w przedziale \(\displaystyle{ B}\).
Istnienie wartości najmniejszej wynika z części udowodnionej powyżej:
Jeśli bowiem \(\displaystyle{ f:\left[ a,b\right] \rightarrow \RR }\), gdzie \(\displaystyle{ a \le b}\) jest funkcją ciągłą, to wtedy funkcja \(\displaystyle{ g:\left[ a,b\right] \rightarrow \RR }\), dana jako:
\(\displaystyle{ g\left( x\right)= - f\left( x\right), }\)
jest również funkcją ciągłą, a zatem, na mocy części udowodnionej powyżej funkcja \(\displaystyle{ g}\) osiąga wartość największą, a więc jest to wartość najmniejsza funkcji \(\displaystyle{ f=\left( -g\right).\square }\)
Przypomnijmy, twierdzenie Weierstrassa mówi, że jeśli \(\displaystyle{ B:=\left[ a,b\right] \subset \RR }\) jest przedziałem, i \(\displaystyle{ a \le b}\), a \(\displaystyle{ f:B=\left[ a,b\right] \rightarrow \RR }\) jest funkcją ciągłą, to funkcja ta osiąga wartość największą(globalną), i funkcja ta osiąga wartość najmniejszą(globalną).
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Dzielimy przedział \(\displaystyle{ B}\) na dwie równe części \(\displaystyle{ B'}\) i \(\displaystyle{ B'',}\) i bierzemy półprzedział \(\displaystyle{ B'}\) za przedział, w którym będziemy szukać wartości największej tej funkcji, gdy dla środka \(\displaystyle{ x _{0} }\) tego całego przedziału \(\displaystyle{ B}\) wartość \(\displaystyle{ f \left( x _{0}\right) }\) jest silnie mniejsza od pewnej wartości \(\displaystyle{ f\left( x\right),}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in B';}\) jeśli zaś wartość \(\displaystyle{ f\left( x _{0} \right) }\) jest większa lub równa od każdej wartości \(\displaystyle{ f\left( x\right), }\) gdzie \(\displaystyle{ x \in B',}\) to rozważamy przedział \(\displaystyle{ B''.}\) Niech \(\displaystyle{ B _{1} }\) będzie wybranym takim podprzedziałem. Przedział \(\displaystyle{ B _{1} }\) podobnie dzielimy na połowy, i podobnie jak dla przedziału \(\displaystyle{ B}\), w podobny sposób otrzymujemy tutaj jeszcze mniejszy podprzedział \(\displaystyle{ B _{2}. }\) Postępując w ten sposób otrzymujemy ciąg malejących, pod względem inkluzji, przedziałów \(\displaystyle{ \left( B _{1}, B _{2}, B _{3}, \ldots \right). }\) Ponieważ długości tych przedziałów dążą do \(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}=0, }\) to istnieje punkt prostej wspólny dla tych wszystkich przedziałów, nazwijmy go \(\displaystyle{ a \in B.}\) Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to w szczególności jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ a.}\) A zatem istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ x\to a } f \left( x\right) =f \left( a\right) \in \RR.}\) Ze sposobu konstrukcji liczby \(\displaystyle{ a}\) wynika, że ta granica jest większa lub równa od każdej wartości \(\displaystyle{ f\left( x\right), }\) gdzie \(\displaystyle{ x \in B,}\) więc \(\displaystyle{ f\left( a\right) = \lim_{x \to a} f\left( x\right) }\) jest wartością największą w przedziale \(\displaystyle{ B}\).
Istnienie wartości najmniejszej wynika z części udowodnionej powyżej:
Jeśli bowiem \(\displaystyle{ f:\left[ a,b\right] \rightarrow \RR }\), gdzie \(\displaystyle{ a \le b}\) jest funkcją ciągłą, to wtedy funkcja \(\displaystyle{ g:\left[ a,b\right] \rightarrow \RR }\), dana jako:
\(\displaystyle{ g\left( x\right)= - f\left( x\right), }\)
jest również funkcją ciągłą, a zatem, na mocy części udowodnionej powyżej funkcja \(\displaystyle{ g}\) osiąga wartość największą, a więc jest to wartość najmniejsza funkcji \(\displaystyle{ f=\left( -g\right).\square }\)