Matematyka.pl

Udowodnić zbieżność ciągu
\(\displaystyle{ a_1=1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \sqrt[n]{na_n + 1} -1 }\).

Z nierówności Bernoulli'ego
\(\displaystyle{ a_{n+1}=(1+na_n)^{1/n}-1\le 1+a_n-1}\),
Ciąg jest zatem nierosnący, a ponadto dodatni - stąd zbieżny.
Granicą jest zero.

Ciąg jest zatem nierosnący, a ponadto dodatni - stąd zbieżny.
Granicą jest zero.

Ciąg jest silnie malejący ale jeszcze z tego nie wynika, że granica będzie zero może być granicą np:

\(\displaystyle{ 10^{-(10^{10})!}}\)

T
To może, zamiast wypisywać tanie bzdury, podjąłbyś jakiś drobny wysiłek umysłowy:
\(\displaystyle{ a_{n+1}<(1+nM)^{1/n}-1<(2nM)^{1/n}-1 \rightarrow 0}\)