Relacje
: 10 gru 2023, o 22:50
Niech \(\displaystyle{ =^*}\) będzie relacją równoważności w zbiorze \(\displaystyle{ P(P(\NN))}\) określoną następująco: dla dowolnych Rodzin \(\displaystyle{ R, S}\):
\(\displaystyle{ R =^* S}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \bigcup R = \bigcup S }\).
a) jaka jest moc zbioru ilorazowego \(\displaystyle{ P(P(\NN)) _{/=^*} }\)?
b) Jaka jest moc klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \left[ \left\{ \left\{ 0\right\} \right\} \right] _{=^*} }\)?
c) Czy istnieją jednoelementowe klasy abstrakcji?
d) Czy istnieją klasy abstrakcji mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\)?
Dodano po 18 minutach 19 sekundach:
Doszedłem do następujących odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup R }\) jest pewnym podzbiorem liczb naturalnych, a takich podzbiorów jest \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)
b) 4 : \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ 0\right\} \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \emptyset \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \left\{ \emptyset\right\} \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \left\{ \emptyset\right\}, \emptyset \right\} }\)
c) nie, ponieważ dla każdej klasy abstrakcji, do której należy jakiś zbiór A, będą należały też zbiory puste
d) nie, ponieważ wszystkie klasy abstrakcji skończonych zbiorów mają skończoną moc, natomiast nieskończone mają moc co najmniej continnum. np do klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \NN}\) będą należeć wszystkie rodziny, które składają się ze zbioru liczb naturalnych i jakiegoś jego podzbioru, co już daje continuum.
Czy są one poprawne?
\(\displaystyle{ R =^* S}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \bigcup R = \bigcup S }\).
a) jaka jest moc zbioru ilorazowego \(\displaystyle{ P(P(\NN)) _{/=^*} }\)?
b) Jaka jest moc klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \left[ \left\{ \left\{ 0\right\} \right\} \right] _{=^*} }\)?
c) Czy istnieją jednoelementowe klasy abstrakcji?
d) Czy istnieją klasy abstrakcji mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\)?
Dodano po 18 minutach 19 sekundach:
Doszedłem do następujących odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup R }\) jest pewnym podzbiorem liczb naturalnych, a takich podzbiorów jest \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)
b) 4 : \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ 0\right\} \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \emptyset \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \left\{ \emptyset\right\} \right\}, \left\{ \left\{ 0\right\}, \left\{ \emptyset\right\}, \emptyset \right\} }\)
c) nie, ponieważ dla każdej klasy abstrakcji, do której należy jakiś zbiór A, będą należały też zbiory puste
d) nie, ponieważ wszystkie klasy abstrakcji skończonych zbiorów mają skończoną moc, natomiast nieskończone mają moc co najmniej continnum. np do klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \NN}\) będą należeć wszystkie rodziny, które składają się ze zbioru liczb naturalnych i jakiegoś jego podzbioru, co już daje continuum.
Czy są one poprawne?