Matematyka.pl

Niech funkcja \(\displaystyle{ \phi : P(\NN) ^{\NN} \rightarrow P(\NN \times \NN)}\) będzie określona następująco:
\(\displaystyle{ \phi (f) = \left\{ \left\langle x, y\right\rangle \in \NN \times \NN | x \in f(y) \vee y \in f(x) \right\} }\).
a) Czy funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) jest 1-1?
b) Czy funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) jest na?
c) Znaleźć \(\displaystyle{ \phi ^{-1}(A) }\), gdzie \(\displaystyle{ A = \left\{ R \in \NN \times \NN | R = R ^{-1} \right\} }\)
d) Znaleźć \(\displaystyle{ \phi(\left\{ f : \NN \rightarrow P(\NN) | (\forall x \in \NN x \in f(x))\right\} )}\), gdzie \(\displaystyle{ f(\NN)}\) jest podziałem zbioru \(\displaystyle{ \NN}\).
e) Dla \(\displaystyle{ f, g : \NN \rightarrow P(\NN)}\) niech \(\displaystyle{ f \cap g = \lambda n. f(n) \cap f(n).}\) Czy \(\displaystyle{ \phi (f \cap g) = \phi (f) \cap \phi (g)}\)?
f) Podać przykład takiej funkcji \(\displaystyle{ f : \NN \rightarrow P(\NN)}\), że zbiór \(\displaystyle{ f(n)}\) jest skończony dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) oraz \(\displaystyle{ \phi (f) = \NN \times \NN}\).

Co udało Ci się ustalić? Zrozumiałeś jak działa ta funkcja?

JK

Wydaje mi się, że funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) działa tak, że bierze pewną funkcję f, która bierze jakąś liczbę naturalną n i przyporządkowuje jej podzbiór zbioru licz naturalnych A. Teraz funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) zwraca wszystkei takie pary \(\displaystyle{ \left\langle n, A\right\rangle \wedge \left\langle A, n\right\rangle }\) , gdzie \(\displaystyle{ \left\langle n, A\right\rangle }\) to zbiór par n ze wszystkimi elementami A. Wtedy funkcja nie jest 1-1, bo jeśli np \(\displaystyle{ f(x) = \left\{ b\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ f(b) = \left\{ x\right\} }\) to funkcje te przyjmą te same wartości. Wydaje mi się też, że funkcja jest na, ale nie mam jeszcze pomysłu jak to dowieść. Czy tok rozumowania przy 1-1 ma w ogóle sens?

Awdsfsaf6 pisze: ↑9 gru 2023, o 14:47 Wydaje mi się, że funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) działa tak, że bierze pewną funkcję f, która bierze jakąś liczbę naturalną n i przyporządkowuje jej podzbiór zbioru licz naturalnych A.

No nie bardzo. Ta funkcja ciągom zbiorów liczb naturalnych przypisuje zbiory par liczb naturalnych.

Awdsfsaf6 pisze: ↑9 gru 2023, o 14:47 Teraz funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) zwraca wszystkei takie pary \(\displaystyle{ \left\langle n, A\right\rangle \wedge \left\langle A, n\right\rangle }\) , gdzie \(\displaystyle{ \left\langle n, A\right\rangle }\) to zbiór par n ze wszystkimi elementami A.

Ten zapis wygląda bardzo niedobrze, bo twierdzisz, że znaczy zupełnie co innego, niż normalnie oznacza taki zapis.

Awdsfsaf6 pisze: ↑9 gru 2023, o 14:47Wtedy funkcja nie jest 1-1, bo jeśli np \(\displaystyle{ f(x) = \left\{ b\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ f(b) = \left\{ x\right\} }\) to funkcje te przyjmą te same wartości.

Jeżeli uważasz, że ta funkcja nie jest 1-1, to wskaż dwa konkretne ciągi zbiorów, które dają tę samą wartość. Bez tego nie ma uzasadnienia.

Ja przy takim zadaniu zaczynam od policzenia kilku konkretnych wartości dla prostych argumentów. To mi daje pewne wyobrażenie na temat tego, czego szukam.

Awdsfsaf6 pisze: ↑9 gru 2023, o 14:47Wydaje mi się też, że funkcja jest na, ale nie mam jeszcze pomysłu jak to dowieść.

Zauważ, że wartości funkcji \(\displaystyle{ \phi}\) są podzbiorami \(\displaystyle{ \NN^2}\) symetrycznymi względem przekątnej. O czym to świadczy?

JK