Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a^{n}- b^{n} }\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ \frac{a^{n}- b^{n}}{a-b}}\) też dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\).

`4.5^2-2.5^2=14` i dzieli się przez `2`, a ułamek jest równy `7` i się nie dzieli

Przecież do cholery a i b są całkowite

Może są, może nie są - napisane nie jest...

a i b są całkowite

Inaczej \(\displaystyle{ a^n-b^n}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a^n-b^n}{a-b}}\) na ogół nie są całkowite, tj. całość traci sens...

Na ogół nie,, ale w szczególnych przypadkach tak. A to znaczy, że bez założeń dodatkowych zadanie nie jest prawdziwe.

Co więcej, po długich rozmyślaniach znalazłem przykład pokazujący, że zadanie nie ma sensu nawet dla naturalnych `a,b`.
Zabawne, że chodzi w nim o ten i przyszły rok.
Otóż `2024^{2023}-2024^{2023}` dzieli się przez `2023`, a \(\displaystyle{ \frac{2024^{2023}-2024^{2023}}{2024-2024} }\) nie

Ciągnąc dalej
\(\displaystyle{ 4 ^{0,5} -1 ^{0,5} =1}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{0,5} =2}\)
\(\displaystyle{ \frac{4 ^{0,5} -1 ^{0,5}}{4-1} =0,(3)}\), \(\displaystyle{ \frac{0,3}{0,5} =0,(6)}\)


Dodano po 1 minucie 14 sekundach:
\(\displaystyle{ a, b}\) naturalne

To akurat nie jest dobry przykład. O podzielności mówimy jedynie w kontekście liczb naturalnych ew. całkowitych

Oj tam.
Przecież można te ułamki przedstawić jako
\(\displaystyle{ \frac{2}{1} }\) i \(\displaystyle{ \frac{45}{60} }\)
Jeden z nich będzie nawet zwykły