Matematyka.pl

Wczoraj i dziś zafascynowało mnie pewne zastosowanie (teoretyczne) funkcji ciągłych do pewnego zagadnienia z mechaniki (Z książki: 'Co to jest matematyka?', R.Courant i H. Robbins, str. 408-410). Jednak tego nie rozumiem, może ktoś mi pomóc to zrozumieć, bo to jest ciekawe...
Rozważmy sytuację, gdy pociąg jedzie od stacji \(\displaystyle{ A}\) do stacji \(\displaystyle{ B}\) po linii prostej. Pociąg nie ma stałej wartości prędkości, ani nie ma stałej wartości przyśpieszenia, może przyśpieszać i zwalniać w dowolny sposób, może nawet stanąć w miejscu albo pojechać w tył, aż dotrze do punktu \(\displaystyle{ B}\). Wiemy jednak, że dany jest ruch pociągu, tzn. dana jest zależność odległości \(\displaystyle{ s}\) pociągu od stacji \(\displaystyle{ A,}\) w zależności od czasu \(\displaystyle{ t}\), dana w pewien dowolny ustalony sposób: \(\displaystyle{ s=f\left( t\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ t \ge 0.}\) Na podłodze jednego z wagonów, na przegubie, umocowany jest pręt, który może poruszać się bez tarcia w przód bądź w tył, dopóki nie dotknie podłogi. Jeśli dotknie podłogi, to pozostanie już na podłodze i nie będzie odskakiwał. Podobno, można zawsze znaleźć (tzn. istnieje) takie ustawienie pręta, że gdy go puścimy w chwili ruszenia pociągu, to w ogóle nie upadnie on na podłogę przez całą drogę od punktu \(\displaystyle{ A}\) do punktu \(\displaystyle{ B}\) (pręt ma poruszać się tylko pod wpływem siły ciężkości i pod wpływem siły ruchu pociągu).
Uzasadnienie tego faktu opiera się to na takim następującym spostrzeżeniu: ruch pręta zależy w sposób ciągły od jego położenia pierwotnego. To jest w miarę jasne; ale ten 'ciekawy wynik' argumentują (dochodząc nawet do wniosku, że istnieje takie położenie początkowe peta, że jego położenie końcowe jest prostopadłe do podłogi ), tylko argumentują to w mniej więcej taki sposób, że ta funkcja ciągła \(\displaystyle{ y=g\left( x\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) oznacza położenie początkowe pręta, a \(\displaystyle{ y}\) oznacza jego położenie końcowe, przybiera wszystkie wartości pośrednie pomiędzy wartością początkową a wartością końcową- jasne. Ale nie trzyma mi się to kupy (dlaczego \(\displaystyle{ g\left( 0\right)=0}\), i \(\displaystyle{ g\left( \pi \right)= \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y}\) oznaczają kąt pomiędzy prętem a podłogą), i dlaczego użyto tu wartości pośredniej, jak dalej, za punktem \(\displaystyle{ B}\), ruchu już dalej nie ma, a gdyby jeśli nawet rozważać co się dzieje w dalszym przedziale czasowym, to możemy utracić ciągłość tej funkcji. Niestety- nie mogę tego 'zobaczyć'. Ktoś może pomóc mi to zrozumieć
(I, podobno, można to uogólnić na sytuację, gdy podróż trwa przez nieskończony długi czas, a to heca ).

W wyżej wymienionej książce na stronach \(\displaystyle{ 408 - 410 }\) znajdują się elementarne i metody całkowania funkcji \(\displaystyle{ x^{r}, \cos x, \sin x, \arctg x.}\)

Skąd ten problem z pociągiem i znajdującym się w jednym z wagonów prętem?

Ja mam starą książkę, tj. wydanie pierwsze.

Vladimir Igorevich Arnold pisze:
"Rygor matematyczny często okazuje się przeszkodą nie do pokonania nawet dla wybitnych matematyków.
Dowodem tego jest przykład pochodzący z klasycznej książki " R. Couranta i G. Robbinsa: Co to jest matematyka."

Zachowanie się pręta w wagonie zostało wytłumaczone przez Hasslera Whitney'a na podstawie topologicznej ciągłości funkcji jego położenia .
"Wystarczy przyjąć tylko jedno założenie, że ruch pręta do następnego położenia zależy w sposób ciągły od jego położenia początkowego."

Gdyby Pan był zainteresowany dokładniejszą analizą tego problemu odsyłam do artykułu: