Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{1+ab} = c^2}\) dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c }\), to \(\displaystyle{ a \geq c}\) i \(\displaystyle{ b \geq c}\).

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ a < c}\) i \(\displaystyle{ b < c}\)
wówczas

\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{1+ab} < \frac{2c^2}{1+c^2} < \frac{2c^2}{c^2} = 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{1+ab} = c^2 < 2}\)
zatem \(\displaystyle{ c = 1}\), sprzeczność.

teraz bez straty ogólności (dodawanie i mnożenie jest przemienne) załóżmy, że \(\displaystyle{ a < c}\) i \(\displaystyle{ b \ge c
}\) wówczas

\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{1+ab} < \frac{c^2 + b^2}{1+bc}}\)

\(\displaystyle{ c^2 < \frac{c^2 + b^2}{1+bc}}\)
\(\displaystyle{ c^2 + bc^3 < c^2 + b^2}\)
ustalmy dowolne \(\displaystyle{ b}\) naturalne
\(\displaystyle{ bc^3 - b^2 < 0}\)
\(\displaystyle{ b(c^3-1) < 0}\)
dla \(\displaystyle{ c > 1}\) sprzeczność.