Matematyka.pl

Przekątne równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) nie należy do płaszczyzny \(\displaystyle{ ABCD}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ |AS|=|SC|}\) oraz \(\displaystyle{ SD=SB}\). Czy odcinek \(\displaystyle{ SO}\) jest prostopadły do płaszczyzny \(\displaystyle{ ABCD}\)? Uzasadnij odpowiedź.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Trójkąty \(\displaystyle{ ASC}\) i \(\displaystyle{ BSD}\) są równoramienne - na początek.

No dobra to już coś. Idąc dalej, w każdym trójkącie równoramiennym odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem podstawy jest wysokością trójkąta i pada pod kątem \(\displaystyle{ 90}\) stopni do podstawy. A zatem odcinek \(\displaystyle{ SO}\) jest prostopadły do odcinka \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\), które znajdują się w płaszczyźnie \(\displaystyle{ ABCD}\), a zatem odcinek \(\displaystyle{ SO}\) jest prostopadły do płaszczyzny \(\displaystyle{ ABCD}\).

Czy tak jest dobrze?

Tu tak, bo odcinki na płaszczyźnie nie są równoległe.

Aha ok, czyli jeszcze powinienem dodać, że odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) nie są równoległe bo są to przekątne równoległoboku i przecinają się w jednym punkcie.

Zgadza się?

tak