Matematyka.pl

Co jest większe: \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}\) czy \(\displaystyle{ \frac{x+1}{y+1} + \frac{y+1}{z+1} + \frac{z+1}{x+1}, }\) gdy \(\displaystyle{ x, y ,z >0 }\) ?

Rozwiązanie klasyczne, kiedyś w Kółku już było podobne ode mnie. Weźmy \(t\ge 0\). Bez straty ogólności niech \(z=\min\{x,y,z\}\). Wtedy \[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}-1+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}\right)\ge\left(\frac{x+t}{y+t}+\frac{y+t}{x+t}-2\right)+\left(\frac{y+t}{z+t}-1+\frac{z+t}{x+t}-\frac{y+t}{x+t}\right).\] Wystarczy zwinąć i porównać wyrażenia z odpowiednich nawiasów.