Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x }\) nie będzie liczbą całkowitą i \(\displaystyle{ n= \lfloor \frac{1}{ x - \lfloor x \rfloor} \rfloor}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lfloor (n^2-1)x \rfloor +2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n+1}\).

sformułowanie jest dziwne. Np jeżeli `x` jest macierzą `5\times6` :}

wsk. da się to zrobić zakładając, że np:

\(\displaystyle{ 0<x= \frac{a}{b} , a<b, b=ka+r, r<a}\)

Dodano po 8 minutach 2 sekundach:
Nawet jak x będzie niewymierne to nawet dla niewymiernej możemy dobrać wymiernego reprezentanta...

Niech `y=x-\lfloor x\rfloor`. Oczywiście `0<y<1`.
Z warunków zadania wynika, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}<y\le \frac1n}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{n^2-1}{n+1}<(n^2-1)y\le \frac{n^2-1}{n}}\), czyli
\(\displaystyle{ n-1<(n^2-1)y<n-\frac1n}\), a zatem
\(\displaystyle{ \lfloor(n^2-1)y\rfloor +2=n+1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \lfloor(n^2-1)x\rfloor +2=\lfloor(n^2-1)(y+\lfloor x\rfloor)\rfloor +2=\lfloor(n^2-1)y\rfloor +2+(n^2-1)\lfloor x\rfloor=(n+1)\left[1+(n+1)\lfloor x\rfloor\right]}\)