Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to ∞} \sqrt[n+1]{2n+3}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to ∞} \sqrt[n+2]{3^{n} + 4^{n+1} }}\)

Korzystamy z równości granic:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}.}\)

a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n+1]{2n+3} = \lim_{n\to \infty} \frac{2(n+1) +3}{2n +3} = 1. }\)

b)
podobnie.

To oczywista bzdura. Takiej równości nie ma. Przykładem jest ciąg `x_n=2+(-1)^n`. Granicą prawej strony jest `1`, a granica lewej strony nie istnieje.

I co to niby ma być? Kontrprzykład Ci nie wystarczy?

Dodano po 2 minutach 38 sekundach:
Sorki, pomyliłem strony: granica z lewej jest jedynką, a prawej nie istnieje

I to ma być ta granica, bo wiemy, że i ta równość zachodzi:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}} = \lim_{n\to \infty} x_{n}.}\)

A jesli jakiś wyraz ciągu jest równy zero

Dla \(\displaystyle{ x_{n}>0, \ \ n=1,2,...}\)

A w moim kontrprzykładzie są ujemne??

Januszu, to nie jest tak, że każdy wzorek, który gdziekolwiek widziałeś jest prawdziwy. Zwykle przed takim wzorkiem jest parę słów, które nazywają się założeniami. Uczą tego w podstawówce

Też na jedynkę

Dodano po 8 minutach 39 sekundach:
Mamy `n+1<2n+3<3(n+1)`, więc
\(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{n+1}\le \sqrt[n+1]{2n+3}\le \sqrt[n+1]3\ \sqrt[n+1]{n+1}}\)

\(\displaystyle{ \frac14 \cdot 4^{n+2}=4^{n+1}<3^n+4^{n+1}<3^n+4^{n+2}<2\cdot 4^{n+2}}\) ...

granica z lewej jest jedynką, a prawej nie istnieje

Czemu?

Powinno być 3

\(\displaystyle{ a_{n}=2+(-1)^n \rightarrow 1 \vee 3}\)

Ma dwa stany skupienia

A Janusza wzór tak można zinterpretować:

\(\displaystyle{ \frac{2+(-1)^n}{2+(-1)^{n-1}} \rightarrow \frac{1}{3} \vee \frac{3}{1} =3}\)

w jednym punkcie się zgadza...

Więc sądzę, że wzór Janusza pasuje dla ciągów o tylko jednym stanie skupienia...

Gdyż to jest twierdzenie o zbieżności średnich:
O ile granica ciągu istnieje to granica ciągu średnich Arytmetycznych ,Geometrycznych i Harmonicznych jego wyrazów także istnieje i są równe (dla G i H wyrazy ciągu są dodatnie).
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kategoria:Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci