Matematyka.pl

Dzień dobry !

Wracam trochę z pytaniem z podstaw gdyż czytałem stare tematy i chciałem coś poukładać (możliwie na szybko żeby nikomu nie zabierać czasu).
Czytałem kiedyś temat z wielomianami i po czasie udało mi się zrozumieć część wątku i chciałem zobaczyć czy to co myślę ma jakiś sens :

- wielomany składa się z jednomianów (czyli zmiennych pomnożone przez stałe albo inaczej literki pomnożone przez liczbę, jak zwał tak zwał), dla przykładu a + b + 1. Funkcje takie jak tg(x), \(\displaystyle{ 2 ^{x} }\), nie są jednomianami według definicji, jedyne funkcje jakie są akceptowalne w jednomiane są funkcje potęgowe jak \(\displaystyle{ a ^{2}, b ^{3} }\) etc. Czy można uznać wtedy pojedyncza literka np. x jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej ?

- Jak widzimy taki zapis \(\displaystyle{ x ^{2} }\) to mówi się że jest to funkcja potęgowa/funkcja kwadratowa, z definicji funkcja powinna zawierać kolejną informację taką np. \(\displaystyle{ f(x) = x ^{2} }\), więc skoro sam zapis \(\displaystyle{ x ^{2} }\) też można uznać za funkcję to sama literka \(\displaystyle{ x }\) też można uznać za funkcję i jednocześnie za zmienną niezależną ?

- Czytałem też o kontekście y oraz y(x), gdyż y może znaczyć wiele. Tak więc też pokazywałem wtedy różne przykłady czyli najprostszy y = 2x oraz y(x) = 2x. Czytałem że można je używać zamiennie lecz tylko "y" można użyć do podstawienia w wielomianach lecz y(x) już natomiast nie. Czemu ? Jak rozumiem dla zapisu y(x), ma na celu podkreślenia że jest zależny od (x), natomiast dla samego zapisu "y" już nie. I tak wtedy nie rozumiałem tego podstawienia.

- Wielomian, dla przykładu W(y) = y + 1 jest prawidłowy, jeśli dodamy kontekstu y = x + 2 to dalej W(y) = y + 1 jest prawidłowy, natomiast W(y) = y(x) + 1 już nie jest poprawny, bo powinno być W(x) = y(x) + 1, ciekawe ponieważ tutaj : W(y) = y + 1, zmienna "y" jest również zależna od "x" : y = x + 2.
A zmienna "x" sama w sobie jak rozumiem jest specjalnym przypadkiem funkcji liniowej bo jak podłożysz "1" to masz wynik "1", jak "2" to masz wynik "2". Inny przykład \(\displaystyle{ x ^{2}}\), podłożysz 2 masz wynik 4, jak 3 to masz wynik 9.

Pozdrawiam.

sama literka x też można uznać za funkcję i jednocześnie za zmienną niezależną ?

To zdanie nie ma sensu...

Czemuż to ?
Jeśli jak napiszesz tylko \(\displaystyle{ x ^{2} }\) to jest to funkcja kwadratowa/funkcja potęgowa. Gdyż wielomian składa się z jednomianów, taki jednomian to iloczyn liczby i zmiennej a jak \(\displaystyle{ x ^{2} }\) nazywamy funkcją to czemu jak napiszesz tylko \(\displaystyle{ x}\) to nie jest to też funkcja liniowa i zmienna ?

Tutaj raczej ciekawiło mnie to że jak czytałem stary post to ten zapis \(\displaystyle{ x ^{2} }\) już jest funkcją która ma w sobie zmienną niezależną "x" natomiast ten zapis \(\displaystyle{ x}\) już nieszczególnie.

\(\displaystyle{ x}\) to nie funkcja tylko jak sam powiedziałeś litera, która w sumie niewiele znaczy, funkcja natomiast to szczególny rodzaj podzbioru iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów (taka szczególna relacja)...

To tak jak powiesz Edek to niewiele znaczy ale jak powiesz Edek mój najlepszy kolega ze szkolnej ławki z którym piję często browce o ta informacja ma już duże znaczenie...

Z tego mogę w takim razie wywnioskować że skoro \(\displaystyle{ x}\) sam w sobie nic nie znaczy, nie jest funkcją to \(\displaystyle{ x ^{n} }\) również nie jest funkcją, jest funkcją wtedy jak będzie relacja między dwoma zbiorami. No bo \(\displaystyle{ x ^{n} }\) to też literka tylko podniesiona do potęgi. Tak to przynajmniej zrozumiałem.

oczywiście \(\displaystyle{ x^n}\) to tylko literka a nawet dwie, które niewiele znaczą, a nawet powiem więcej w analizie patrzy się na to inaczej a w algebrze jeszcze inaczej całkiem podobnie jak z tym Edkiem...

Funkcja to: ruch, proces, relacja, zbiór, podzbiór,... różne są jej oblicza. Nawet powiem Ci tak można nawet z jednej literki zrobić funkcję...

\(\displaystyle{ f: a \rightarrow a}\)

\(\displaystyle{ D=A=\left\{ a\right\} }\) - dziedzina

\(\displaystyle{ W=B=\left\{ a\right\} }\) - zbiór wartości...

funkcja to wtedy:

\(\displaystyle{ f=(a,a) \subset A \times B}\)

\(\displaystyle{ f(a)=a}\)

W każdym bądź razie literka \(\displaystyle{ a}\) dalej niewiele znaczy bo nie wiemy czym ona jest, póki jej nie określimy (każdy po swojemu)...

Rozumiem, bardzo dziękuję.
Byłem też ciekaw innych podpunktów które tam napisałem. Skoro funkcja to relacja zbiorów (albo jak to ładniej napisałeś), na przykład y(x) = x + 2, i to jest funkcja, bo jest to relacja dwóch zbiorów y(x) i x. Jak widziałem ten zapis y = x jest również funkcją, gdyż "y" zależy od "x". Jednakże podstawienie było dla mnie zagadką. Jeśli mam wielomian W(y) = y+1 a zmienna "y" była opisana jako : y = x + 2, to W(y) = y+1 jest dalej dobrym zapisem bo "y" to jednomian, pomimo że jest opisana jak funkcja, natomiast ten zapis : W(y) = y(x)+1 to wtedy y(x) nie jest traktowany jak jednomian, pomimo że też jest opisany tak samo jak "y" czyli y(x) = x+2. Widziałem że zapis był niepoprawny i powinien wyglądać następująco W(x) = y(x) + 1 to wtedy rozumiem że nie jest jednomianem, lecz ja tam zastosowałem W(y).

I to było dla mnie żeby to głupio nie zabrzmiało trochę nielogiczne, gdyż skoro y(x) = x+2 jest funkcją i y = x + 2 też jest funkcją, tylko jeden można traktować jak jednomian a drugi nie to było dosyć zastanawiające. Jeśli to co napisałem ma jakiś sens w kwestii mojego zdziwienia.

Pozdrawiam.

Trochę dalej mieszasz musi ci to wyjaśnić jakiś dobry dydaktyk np. J. K....

Dodano po 2 minutach 4 sekundach:
\(\displaystyle{ W(y)=y+1}\)

\(\displaystyle{ y(x)=x+2}\)

\(\displaystyle{ W(y(x))=W(x)=x+2+1=x+3}\)

Bardzo przepraszam jeśli to co napisałem było problematyczne w czytaniu :>

Rozumiem że jak napiszę \(\displaystyle{ W(y(x)) = y(x) + 1 }\) to wtedy mogę traktować y(x) jako jednomian ? Oczywiście pewnie to zabrzmi jak błąd.
Tak to stwierdziłem pomimo że jest to wyraźnie napisane że y(x) to funkcja, a jednomian jest jak czytałem czymś innym tak nie potrafiłem zrozumieć tej jednej rzeczy. Gdyż sama literka \(\displaystyle{ y}\) również mogłem napisać w postaci funkcji \(\displaystyle{ y = x + 2}\), wtedy dla takiego równania \(\displaystyle{ W(y) = y + 1}\), \(\displaystyle{ y}\) staje się wtedy jednomianem chociaż była opisana jako funkcja \(\displaystyle{ y = x + 2}\). Identyczną sytuację mam przy \(\displaystyle{ W(y(x)) = y(x) + 1 }\) tylko po prostu dodałem przy literce (x). A tak to jest dosłownie tym samym : \(\displaystyle{ y(x) = x + 2}\) oraz \(\displaystyle{ y = x + 2}\), no i też \(\displaystyle{ W(y(x)) = y(x) + 1 }\) i \(\displaystyle{ W(y) = y+ 1 }\), tylko właśnie y jest opisany funkcją ale jest jednomianem, y(x) też jest opisany funkcją ale już nie jest jednomianem gdyż ma (x).

Pozdrawiam.

Tak jak kwadrat jest czworokątem a czworokąt może być kwadratem...

Wybacz ale nie wiem jak mam to interpretować ? Ponieważ trochę się tam rozpisałem.
Czyli : \(\displaystyle{ W(y(x)) = y(x) + 1}\) to wtedy mogę traktować y(x) jako jednomian ? Bo z definicji to teoretycznie iloczyn stałej z zmienną/literką.

To tak jak jeden Bóg w trzech osobach...

Czyli rozumiem to jako tak ? że mogę to tak traktować jak zapiszę to jako W(y(x)) ? I nie jak zapiszę to jako W(y)/W(x) ?

nie wiem co znaczy ten ukośnik czy to nie dzielenie?

Nie jest to dzielenie a raczej takie lub. Oczywiście wszystko w kontekście tego y(x). Ponieważ nie wiem jak interpretować twoje poprzednie posty.