Matematyka.pl

Zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n!}\left( \frac{n}{e}\right)^{n} }\)

Na podstawie twierdzenia o monotoniczności ciągów:

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}, \ \ b_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}, \ \ n\in \NN,}\)

oraz kryterium:

" Niech \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \ \ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) będą szeregami o wyrazach dodatnich, takimi, że \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}} }\) dla \(\displaystyle{ n \geq N, }\) to ze zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} }\) wynika zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n},"}\)

możemy napisać:

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n}}{e} > \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n+1}} = \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}.}\)

Gdyby badany szereg był zbieżny, to na podstawie tego kryterium szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }\) byłby zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu pierwszego.

Badany szereg jest więc rozbieżny.

janusz47 pisze: 17 lis 2023, o 17:10 Na podstawie twierdzenia o monotoniczności ciągów:
\(\displaystyle{ \blue{ a_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}, \ \ b_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}, \ \ n\in \NN,}\)

A to cóż za bzdura. Przecież \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\blue{\frac{\left(1 +\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1 +\frac{1}{n}\right)^{n}}}}\), ale to nijak ma się do zadania

Wystarczy skorzystać ze wzoru Wilsona... na silnię , ładnie się skraca

Badany szereg jest więc rozbieżny.

Logika nie kłamie z fałszu można uzyskać prawdę...


Kryterium daje granicę jeden więc nie ma sensu go stosować...

Wilsona czy Stirlinga

Jeśli ciągi \(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\) i ciąg \(\displaystyle{ b_{n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}, \ \ n\in \NN.}\)

to można wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n}) }\)jest ściśle rosnący oraz ciąg \(\displaystyle{ (b_{n}) }\) jest ściśle malejący oraz \(\displaystyle{ a_{n}< b_{n}

}\) dla \(\displaystyle{ n \in\NN }\) i ciągi \(\displaystyle{ (a_{n}), \ \ (b_{n}) }\) są zbieżne do tej samej granicy \(\displaystyle{ e.}\)

Przecie to nie o to chodzi. Czytaj ze zrozumieniem to, co piszesz, to unikniesz takich błędów.
Najpierw oznaczyłeś przez `a_n` pewien znany ciąg, a potem, znienacka, tego `a_n` użyłeś do oznaczenia wyrazów szeregu w zadaniu. O tym, że jak przez A oznaczyłeś stanowisko ogniowe wroga, a potem tym samym symbolem oznaczysz własną kuchnię polową, to własna artyleria zrobi Ci niezły kipisz, uczą na początkowych zajęciach z taktyki.

Oczywiście Stirlinga pomyłka:

\(\displaystyle{ n!= \sqrt{2\pi} \left( \frac{n}{e}\right)^n e^{\alpha_{n}} }\)

Z tego idzie natychmiast...

A tak na marginesie czy autor posta to nie sztuczna "inteligencja"???

Dodano po 5 minutach 56 sekundach:
Prawdopodobnie jakby tam było zamiast:

\(\displaystyle{ \frac{n}{e} }\)

było:

\(\displaystyle{ \frac{n}{5} }\)

To z kryterium ilorazowego, które Janusz tak męczy by się dało a jakby się dało to wnioski można wysnuwać (nie sprawdzałem tego czy by się dało ale zawsze można sprawdzić...

arek1357 pisze: 17 lis 2023, o 23:16 A tak na marginesie czy autor posta to nie sztuczna "inteligencja"???

Czy to do mnie??? Dlaczego tak sądzisz? arek1357? hmm??

Tak i nawet się nie dziw ponieważ pewne cechy i zachowanie masz podobne do sztucznej inteligencji więc określ się czy jesteś maszyną czy nie

Mam nadzieję, że maszyną nie jestem... Chociaż nikt nie zna prawdziwej i jedynej zagadki i odpowiedzi Matki Ziemi. Lecz dla twojego spokoju, określam się: maszyną na chwilę obecną, tak jak czuję, nie jestem...

Chociaż nikt nie zna prawdziwej i jedynej zagadki i odpowiedzi Matki Ziemi.

Jakaż to zagadka?

Wiesz im bardziej zapewniasz, że maszyną nie jesteś tym bardziej twierdzę, że nią jesteś, albo jesteś bardzo specyficzny...
Nawet jak nie jesteś maszyną to się do niej upodabniasz i to bardzo...

Pozostaje tylko zaufać... a specyficzny nie zawsze musi mieć wydźwięk negatywny drogi Arku, ponieważ jestem bardzo sympatycznym facetem Jeżeli o zagadkę chodzi, to skąd którekolwiek z nas ma wiedzieć, czy jesteśmy ludźmi faktycznymi z mięsa, krwi i kości, czy może to tylko złudzenie i steruje nami jakaś nadludzka siła, maszyny z nas? To możesz być ty, Arek. Może to ty jesteś sztuczną inteligencją.

Jeżeli o zagadkę chodzi, to skąd którekolwiek z nas ma wiedzieć, czy jesteśmy ludźmi

Akurat to wiem bardzo dobrze, że jestem człowiekiem stworzonym przez Boga..., traktuje to w kategorii aksjomatu...

jestem bardzo sympatycznym facetem

Co trudno mi powiedzieć o większości użytkowników tego forum więc może dlatego wziąłem Cię za sztuczna inteligencję ponieważ odbiegasz od chamstwa prezentowanego na tym forum przez większość userów i adminów...Więc wydałeś mi się bardzo nierealny i niepasujący do otoczenia...

Wiara chrześcijańska nie skutkuje rezygnacją z dociekań o prawdzie. Jednak, idąc twoim tokiem myślenia, Arku, ja również jestem człowiekiem stworzonym przez Boga, Stwórcę. Czuję, że żyję, posiadam i eksploruję własne emocje. W twojej filozofii, jestem istotą żyjącą.