Matematyka.pl

Znaleźć wszystkie takie trójki liczb całkowitych \(\displaystyle{ x, y, z}\), że \(\displaystyle{ x + y + z = xyz}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Tutaj metodą prób i błędów zauważyłem, że rozwiązaniem jest jak jedna z liczb jest zerem, a pozostałe dwie są dowolne, ale przeciwne względem siebie, ale jak dojść do rozwiązania?

Wystarczy zauważyć, że gdy wartość bezwzględna wszystkich liczb jest większa od jedynki to równość nie może zachodzić. Pozostaje zatem niewiele przypadków do sprawdzenia

No ok, to co mówisz też chyba trzeba jakoś uzasadnić, ale ok. Dobra to wniosek z tego taki, że jedna z liczb musi być równa \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Jeśli jest zerem to jest łatwo bo z tego wynika, że pozostałe dwie liczby muszą być wzajemnie przeciwne. A co jak jedna z liczb jest równa \(\displaystyle{ 1}\)? Wtedy dostajemy \(\displaystyle{ 1+y+z=yz}\) czyli \(\displaystyle{ (y-1)(z-1)=2}\) i rozwiązaniami tego są \(\displaystyle{ y=2,z=3}\) lub \(\displaystyle{ y=-2,z=-3}\) lub \(\displaystyle{ y=0,z=-1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1,z=0}\). W pozostałych wypadkach jedną z liczb jest zero, a pozostałe dwie są przeciwne do siebie. Czyli mamy rozwiązania \(\displaystyle{ x=0,y=n,z=-n}\) i permutacje wszystkie tego, oraz \(\displaystyle{ x=1,y=2,z=3}\) lub \(\displaystyle{ x=-1,y=-2,z=-3}\) i wszystkiego permutacje tego układu.

Dobrze tak jest?

max123321 pisze: 18 lis 2023, o 22:47 No ok, to co mówisz też chyba trzeba jakoś uzasadnić, ale ok. Dobra to wniosek z tego taki, że jedna z liczb musi być równa \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Jeśli jest zerem to jest łatwo bo z tego wynika, że pozostałe dwie liczby muszą być wzajemnie przeciwne. A co jak jedna z liczb jest równa \(\displaystyle{ 1}\)? Wtedy dostajemy \(\displaystyle{ 1+y+z=yz}\) czyli \(\displaystyle{ (y-1)(z-1)=2}\) i rozwiązaniami tego są \(\displaystyle{ y=2,z=3}\) lub \(\displaystyle{ y=-2,z=-3}\)

Czyżby? Nie działaj automatycznie

A co, coś źle mówię?

Tak, zachowałeś się jak małpa (bez urazy): jeżeli w pierwszym równaniu zamienić wszystkie liczby na przeciwne, to nic się nie zmieni. Ale równanie, w którym USTALIŁEŚ `x=1` już tej własności nie ma

Ciekawe uogólnienia
zródlo:
https://www.researchgate.net/publication/324555444_When_Does_a_Sum_of_Positive_Integers_Equal_Their_Product

Nie no jak ustalę \(\displaystyle{ x=1}\), to równanie dalej ma tą własność, ale szukam rozwiązania innego niż \(\displaystyle{ 1,0,-1}\). Dlatego trochę nie rozumiem o co Ci chodzi. Bo jak Ty to chcesz zapisać? Trzeba chyba rozpatrzyć przypadki \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ x=-1}\).

Rozwiązaniem równania `1+y+z=yz` jest `(2,3), (3,2)` się nie jest `(-2,-3)`

A dobra o to Ci chodzi. No fakt, moje niedopatrzenie. Jak jedna z liczb jest równa \(\displaystyle{ 1}\) to rozwiązaniami są wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ (1,2,3)}\). Analogicznie można wykazać, że jak jedna z liczb jest równa \(\displaystyle{ -1}\) to rozwiązaniami są wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ (-1,-2,-3)}\). Dokładając do tego rozwiązania postaci \(\displaystyle{ (0,z,-z), z \in \ZZ}\) otrzymujemy finalnie, że rozwiązaniami są wszystkie permutacje zbiorów \(\displaystyle{ (1,2,3),(-1,-2,-3),(0,z,-z),z \in \ZZ}\).


To jak teraz jest dobrze?

Nie. Równanie `1+y+z=yz` ma jeszcze jedno rozwiązanie

No ok to równanie, które piszesz ma rozwiązania \(\displaystyle{ (2,3),(3,2),(0,-1),(-1,0)}\) no, ale to nie zmienia faktu, że ostatecznie rozwiązania są takie jak podałem.

Przepraszam, coś mi się totalnie pozajączkowało. Oczywiście, masz rację

No ok, a jak uzasadnić to pierwsze spostrzeżenie, że jeśli wartość bezwzględna wszystkich liczb jest większa od jedynki to równość nie może zachodzić?

\(\displaystyle{ x= \frac{y+z}{yz-1} }\) itd