Matematyka.pl

Witam
Próbuję udowodnić że eksponenta macierzy jest poprawnie zdefiniowana czyli że jest zbieżna.
W dowodach jakie znalazłem korzystają, że jeśli udowodnimy zbieżność dla normy(tutaj pytanie dla jakiej?) to bazowy szereg też jest zbieżny.
Z czego to wynika?

Nie ma większego znaczenia, jakiej normy się użyje, bo wszystkie normy na przestrzeni skończeniewymiarowej (takiej jak przestrzeń macierzy) są równoważne. Której normy użyli w Twoim źródle - chyba nie sposób odgadnąć bez wglądu do tego źródła. Implikacja, o którą pytasz, to jakaś forma kryterium porównawczego, ale znów nie można odpowiedzieć konkretniej bez wiedzy jaka to norma. Może mógłbyś udostępnić problematyczny fragment dowodu?

W moim źródle nie użyli żadnej konkretnej normy tylko zostało powiedziane że jest podmultiplikatywna dzięki czemu można pokazać nierówność
\[ 0 \leq \left \| \frac{A^n}{n!} \right \| \leq \frac{\left \| A \right \|^n}{n!} \]
z czego wynika że jest zbieżna z definicji liczby e.
Z tego jest wnioskowane że jeśli norma jest zbieżna to oryginalny szereg też.
Rozumiem że powinienem pokazać to na jakieś konkretnej normie? Jeśli tak to na jakiej byłoby najłatwiej?

Pewnie nie ma większego znaczenia (dla skończenie wymiarowych przestrzeni Banacha takich jak \(\displaystyle{ \RR^{n \times n}}\)) jaka to konkretnie norma, choć zwykle bierze się operatorową, która jest podmultiplikatywna (dla wygody). A ponieważ \(\displaystyle{ \mathcal{L}(\RR^{n},\RR^{n})}\) (zbiór macierzy) jest przestrzenią Banacha (z normą operatorową) to wystarczy sprawdzić, że ciąg sum częściowych szeregu definiującego \(\displaystyle{ e^A}\) (dla \(\displaystyle{ A\in \mathcal{L}(\RR^{n},\RR^{n})}\)) jest Cauchy'ego. Faktycznie,
Więc prawa strona może być dowolnie mała.