Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową z rozkładu Poissona o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ E(X) = µ}\). Zmienna \(\displaystyle{ X}\) reprezentuje liczbę błędów w pewnej książce. Każdy błąd jest niezależnie od pozostałych błędem gramatycznym z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) albo leksykalnym z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1−p.}\) Niech \(\displaystyle{ Y}\) określa liczbę błędów gramatycznych, zaś \(\displaystyle{ Z}\) liczbę błędów leksykalnych (\(\displaystyle{ X = Y + Z}\)). Pokaż, że \(\displaystyle{ Y}\) jest zmienną losową z rozkładu Poissona o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ pµ}\), zaś \(\displaystyle{ Z}\) jest zmienną losową z rozkładu Poissona o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ (1 − p) µ}\). Dodatkowo pokaż, że zmienne \(\displaystyle{ Y}\) oraz \(\displaystyle{ Z}\) są niezależne.

Wskazówka: ile wynosi prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie \(\displaystyle{ k}\) błędów gramatycznych pod warunkiem, że wszystkich błędów jest \(\displaystyle{ n}\) (tj. \(\displaystyle{ P(Y = k \mid X = n)}\)), dla dowolnych naturalnych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) ?