Matematyka.pl

Jakiś czas temu zauważyłem że wzór Rodriguesa dla wielomianów Czebyszowa został błędnie podany.
Pogrzebałem na angielskich wikipediach i oto co do tej pory znalazłem.

Przypuśćmy że wielomian ortogonalny spełnia następujące równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ Q\left( x\right)y''\left( x\right)+L\left( x\right)y'\left( x\right)+\lambda y\left( x\right)=0 }\)

wówczas

\(\displaystyle{
R'\left( x\right) = \frac{L\left( x\right) }{Q\left( x\right) } \cdot R\left( x\right) \\
W\left( x\right) = \frac{R\left( x\right) }{Q\left( x\right) }\\
P_{n}\left( x\right) = \frac{1}{e_{n}} \cdot \frac{1}{W\left( x\right) } \cdot \frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}x^{n}}\left(W\left( x\right)\left[ Q\left( x\right) \right]^{n} \right)
}\)

Tylko jak obliczyć czynnik \(\displaystyle{ e_{n}}\) ?

No i ciekawym jestem skąd się im powyższy wzorek wziął.

Przecież wielomiany Czebyszewa są ortogonalne.

ortogonalność:

\(\displaystyle{ \int C(i)C(j) g dx = 0}\) dla \(\displaystyle{ i\ne j.}\)

Czebyszewa to trygonometryczne:
\(\displaystyle{ C(k) = cos(kt) = ...}\)
co należy wyrazić za pomocą: \(\displaystyle{ x = \cos(t)}\)

i np.: \(\displaystyle{ \cos(2t) =\cos(t)^2 - \sin(t)^2 = 2\cos(t)^2-1 = 2x^2-1}\)

itd.

Chodziło mi bardziej o ten wzór Rodriguesa
Skąd się on wziął i jak obliczyć współczynnik \(\displaystyle{ e_{n}}\)

Wielomiany Czebyszowa wziąłem jako przykład bo w tablicach Mizerskiego
wzór Rodriguesa dla wielomianów Czebyszowa został błędnie zapisany

mało istotne

https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_orthogonal_polynomials

i sobie wylicz co tam chcesz;

z tego co widzę to \(\displaystyle{ e_n = n^2}\), lub coś w tym stylu.

No to to i ja potrafiłem znaleźć , bo myślisz że skąd wziąłem to co tutaj napisałem

Nie rozumiem ludzi którzy nie mając nic do napisania odpisują

?