Strona 1 z 1
ciąg arytmetyczny z f. trygonometrycznymi
: 12 lis 2023, o 10:10
autor: vip123
Dla jakich liczb \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) }\), liczby :
\(\displaystyle{ \tg x,1, \frac{\cos x}{1+\sin x} }\),
w podanej kolejności są trzema początkowymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego?
Dla dowolnych \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) oblicz sumę:
\(\displaystyle{ a_{n}+a_{n+1}+...+a_{2n}}\).
Re: ciąg arytmetyczny z f. trygonometrycznymi
: 12 lis 2023, o 10:27
autor: JHN
Hint:
\(\tg x+ \frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{1}{\cos x}\) połącz z \((a,b,c)-CA\iff 2b=a+c\)
Pozdrawiam
Re: ciąg arytmetyczny z f. trygonometrycznymi
: 12 lis 2023, o 10:32
autor: vip123
Skoro tworzą ciąg arytmetyczny, to:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 1=\tg x+ \frac{\cos x}{1+\sin x},\\
2= \frac{\sin x}{\cos x} +\frac{\cos x}{1+\sin x},\\
2= \frac{1}{\cos x} ,\\
\cos x= \frac{1}{2} .\\
x=- \frac{\pi}{3} \vee x= \frac{\pi}{3}.
}\)
Ciąg jest rosnący dla \(\displaystyle{ x=- \frac{\pi}{3}}\).
Mam wówczas:
\(\displaystyle{ - \sqrt{3},1, \frac{1}{2- \sqrt{3}} }\).
Czy szukaną sumę należy policzyć w następujący sposób?
\(\displaystyle{
a_{n}=a_{1}+(n-1)r, }\) gdzie \(\displaystyle{ a_{1}=- \sqrt{3} , r=1+ \sqrt{3},\\
a_{n}=n \sqrt{3} +n-1,\\
a_{2n}=2n \sqrt{3} +2n-1,\\
S_{2n}= \frac{a_{n}+a_{2n}}{2} n= \frac{n \sqrt{3}+n-1+2n \sqrt{3} 2n-1}{2} n=\frac{3n \sqrt{3}+3n-2}{2} n.
}\)